Dubbio dimostrazione

[Otherguy2k]

Ragazzi mentre aspetto l'inizio dei corsi del secondo anno(praticamente domani XD) ho ripreso il testo di analisi 1 per interessarmi delle appendici non trattate al corso.
Ho trovato un teorema che afferma il seguente:
L'insieme \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) di numeri reali è infinito e non numerabile.
Nella dimostrazione pero ho incontrato qualche problema , la posto.
Dim:
Supponiamo per assurdo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) numerabile, il che significa dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra [0,1] e \( \displaystyle \mathbb{N} \), dunque sia \( \displaystyle {x}_{{{n}}}:\mathbb{N}\rightarrow{\left[{0},{1}\right]} \) successione biunivoca in questione.
Sia \( \displaystyle {\left[{a}_{{{1}}},{b}_{{{1}}}\right]} \) un intervallo di numeri contenuto in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) con \( \displaystyle {a}_{{{1}}}\lt{b}_{{{1}}} \) e \( \displaystyle {x}_{{{1}}}\notin{\left[{a}_{{{1}}},{b}_{{{1}}}\right]} \).
Sia ora \( \displaystyle {\left[{a}_{{{2}}},{b}_{{{2}}}\right]}\subset{\left[{a}_{{{1}}},{b}_{{{1}}}\right]} \) con \( \displaystyle {a}_{{{2}}},{b}_{{{2}}} \) e \( \displaystyle {x}_{{{2}}}\notin{\left[{a}_{{{2}}},{b}_{{{2}}}\right]} \).E cosi via , fino ad ottenere una successione di intervalli \( \displaystyle {\left[{a}_{{{n}}},{b}_{{{n}}}\right]} \) tale che \( \displaystyle {x}_{{{n}}}\notin{\left[{a}_{{{n}}},{b}_{{{n}}}\right]}\forall{n}\in\mathbb{N} \).
Di conseguenza l'intersezione di questi intevalli , non contenendo nessun termine della successione , ed essendo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) l'insieme dei termini di \( \displaystyle {x}_{{{n}}} \), risulta essere vuota.Ma ciò è assurdo poichè posto M=sup(\( \displaystyle {a}_{{{n}}} \)),risulta \( \displaystyle {a}_{{{n}}}\le{M}\le{b}_{{{n}}}\forall{n}\in\mathbb{N} \).
L'ultima parte della dim cioè a partire da quando parla dell'intersezione non mi è chiara , qualcuno potrebbe gentilmente chiarlmela o postare una dimostrazione alternativa al teorema ?Grazie mille a chi risponderà

[*pizzaf40]

Non ne ho la certezza, ma posso darti la mia idea...credo che lo scopo della dimostrazione sia rimpicciolire infinitamente l'insieme\( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) fino a \( \displaystyle {\left[{a}{\mathcal{{n}}},{b}{\mathcal{{n}}}\right]} \) (da notare che non ho ancora avutotempo di trovare come si fanno i pedici). A questo punto si capisce che ci sarà sempre un numero compreso tra \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}} \) e \( \displaystyle {b}{\mathcal{{n}}} \) (e quindi in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \)) per quanto piccolo, sia perchè il rimpicciolimento dell'insieme non fa altro che minimizzare lo spazio disponibile...al limite, con \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}}={b}{\mathcal{{n}}} \) ci sarà sempre il numero \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}}={b}{\mathcal{{n}}}={C} \) che apparterrà al piccolo insieme e quindi a \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \).
Quindi l'insieme che hai rimpicciolito non sarà mai vuoto, quindi un insieme qualunque di numeri reali distinti è infinito (cioè composto da infiniti valori) e di conseguenza non numerabile!
Può essere utile allo scopo della comprensione penare al paradosso di "nonricordochi" che dice che ulisse, per quanto sia veloce, non raggiungerà mai la tartaruga di fronte a se perchè dovra coprire la metà della distanza iniziale, poi la metà di quella rimanente, poi la metàdi quella che rimane ancora...quindi infinite metà...quindi non arriverà mai!!! Penso che la dimostrazione venga fatta con questo criterio, cioè qualunque metà, perquanto piccola, non sarà mai vuota proprio per l'infinità dei valori di distanzatra ulisse e la tarta!!

In realtà ulisse raggiunge e supera la tartaruga in scioltezza perchè altrimenti questo significherebbe il fermarsi del tempo...infatti il paradosso è basato sullo spazio e non sul tempo, quindi ulisse non avrebbe velocità...o meglio, l'avrebbe ma decrescente fino a 0 all'avvicinarsi della tarta!

Bye!

[irenze]

L'ultima parte della dim cioè a partire da quando parla dell'intersezione non mi è chiara , qualcuno potrebbe gentilmente chiarlmela o postare una dimostrazione alternativa al teorema ?Grazie mille a chi risponderà

Hai creato due successioni, \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{a}_{{n}}\right\rbrace} \) che è crescente e \( \displaystyle {\left\lbrace{b}_{{n}}\right\rbrace} \) che è decrescente. Poiché gli intervalli sono inscatolati, tutti i termini della prima successione (cioè dell'insieme \( \displaystyle {A} \)) sono più piccoli di tutti i termini della seconda successione (cioè dell'insieme \( \displaystyle {B} \)), che è come dire che \( \displaystyle {B} \) è contenuto nell'insieme dei maggiornati di \( \displaystyle {A} \) (e \( \displaystyle {A} \) nell'insieme dei minoranti di \( \displaystyle {B} \)). Dunque \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) formano una coppia di classi separate (CCS). Per l'assioma di completezza di \( \displaystyle \mathbb{R} \) deve esistere un elemento separatore tra \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) e tale elemento non sta in \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{n}}\right\rbrace} \) ma sta in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) (perché sia \( \displaystyle {A} \) che \( \displaystyle {B} \) sono contenuti in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \)).

L'unica domanda è: avete visto così l'assioma di completezza (ogni CCS ha un elemento separatore) o in altro modo? Ci sono tante formulazioni equivalenti.

[Otherguy2k]

Anzitutto grazie per le risposte.
Si l'assiama l'abbiamo fatto cosi , quindi vediamo se ho capito l'assurdo deriva dal fatto che M deve stare in [0,1] ma non in \( \displaystyle {x}_{{{n}}} \) il che è appunto assurdo essendo [0,1] il coodominio della successione , giusto?

[kinder]

...qualcuno potrebbe gentilmente chiarlmela o postare una dimostrazione alternativa al teorema ?Grazie mille a chi risponderà

un'alternativa è il famoso argomento diagonale di Cantor.

[Otherguy2k]

Azz grazie Kinder ,ho trovato la dimostrazione su wikipedia bellissima ,tra l'altro l'ho tarvato anche piu semplice ^_^
Per quanto riguarda quella che ho postato qualcuno potrebbe confermarmi se la mia supposizione sull'assurdo è corretta ? grazie mille ancora

[irenze]

Anzitutto grazie per le risposte.
Si l'assiama l'abbiamo fatto cosi , quindi vediamo se ho capito l'assurdo deriva dal fatto che M deve stare in [0,1] ma non in \( \displaystyle {x}_{{{n}}} \) il che è appunto assurdo essendo [0,1] il coodominio della successione , giusto?

Già, perché per l'ipotesi assurda la \( \displaystyle {x}_{{n}} \) era una biiezione.

[Otherguy2k]

Benissimo grazie ragazzi!

[*pizzaf40]

Ola a tutti...posso chiedere una conferma anch'io?
Volevo solo sapere se aveva un senso quello che ho detto (per quanto poco rigoroso), o se era una c.....a spaventosa...
Sapete com'è, c'ho provato...eh eh!!!

[Martino]

Ciao!

(da notare che non ho ancora avutotempo di trovare come si fanno i pedici).

Ad esempio per scrivere \( \displaystyle {a}_{{n}} \) scrivi a_n.

A questo punto si capisce che ci sarà sempre un numero compreso tra \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}} \) e \( \displaystyle {b}{\mathcal{{n}}} \) (e quindi in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \)) per quanto piccolo, sia perchè il rimpicciolimento dell'insieme non fa altro che minimizzare lo spazio disponibile...al limite, con \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}}={b}{\mathcal{{n}}} \) ci sarà sempre il numero \( \displaystyle {a}{\mathcal{{n}}}={b}{\mathcal{{n}}}={C} \) che apparterrà al piccolo insieme e quindi a \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \).

Cosa intendi quando dici che al limite si ha \( \displaystyle {a}_{{n}}={b}_{{n}} \) ?

Quindi l'insieme che hai rimpicciolito non sarà mai vuoto, quindi un insieme qualunque di numeri reali distinti è infinito (cioè composto da infiniti valori) e di conseguenza non numerabile!

Sull'implicazione "infinito \( \displaystyle \Rightarrow \) non numerabile" avrei qualcosa da ridire...