Dubbio esercizi su permutazioni

[francicko]

@cifa.Accidenti mi sono ingannato, il postato precedente è valido se la permutazione \( \displaystyle {X} \) è composta da cicli disgiunti di lunghezza dispari, ed in quel caso mi fornisce un modo per ricercare \( \displaystyle \alpha \).
In generale penso che le considerazioni da fare sono le seguenti:
Supponiamo che la permutazione \( \displaystyle \alpha \) composta dal ciclo di lunghezza \( \displaystyle {n} \), \( \displaystyle {\left({123}\ldots..{n}\right)} \) con \( \displaystyle {n} \) dispari, mi chiedo che forma avrà la permutazione \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({1234}\ldots.{n}\right)}{\left({1234}\ldots{n}\right)}={{\left({123}..{n}\right)}}^{{2}} \)?
Ebbene essendo \( \displaystyle {n} \) dispari sarà \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({1357}\ldots{n}{246}\ldots.{\left({n}-{1}\right)}\right)} \) cioè una permutazione diversa ma composta ancora da un ciclo avente lunghezza \( \displaystyle {n} \). Per esempio se prendiamo \( \displaystyle \alpha={\left({123456789}\right)} \) otteniamo \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({135792468}\right)} \) ancora di lunghezza \( \displaystyle {9} \), e quindi scomponibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari..
Supponiamo adesso invece che la permutazione \( \displaystyle \alpha \) sia composta dal ciclo di lunghezza \( \displaystyle {n} \), \( \displaystyle {\left({123}\ldots{n}\right)} \) con \( \displaystyle {n} \) pari,
mi chiedo anche in questo caso che forma avrà la permutazione \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \)?
Ebbene in questo caso avrò la seguente permutazione \( \displaystyle {\left({135}\ldots{\left({n}-{1}\right)}\right)} \)\( \displaystyle {\left({246}\ldots{n}\right)} \), cioè composta da due cicli disgiunti entrambi di lunghezza \( \displaystyle \frac{{n}}{{2}} \) quindi pari o dispari, e quindi in definitiva avrò una permutazione scompnibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari. Per esempio prendiamo la permutazione \( \displaystyle \alpha={\left({12345678}\right)} \) risulterà
\( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({1357}\right)}{\left({2468}\right)} \), cioè composta da due cicli di lunghezza \( \displaystyle {4} \), pertanto sarà di classe pari. Nel caso di \( \displaystyle \alpha={\left({123456}\right)} \) otterremo \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({135}\right)}{\left({246}\right)} \), quindi due cicli di lunghezza dispari, pertanto \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \) sarà di classe pari.
Avendo analizzato i suddetti casi, e dato che una permutazione è sempre possibile scomporla in cicli disgiunti posso concludere che se \( \displaystyle \sigma \)\( \displaystyle \in{S}_{{n}} \) è una permutazione di classe dispari allora non può esistere \( \displaystyle \alpha \) tale che \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle \sigma \), ed il punto (a) è soddisfatto.
Concluendo,per quanto riguarda il punto (c) adesso risulta evidente che per la permutazione \( \displaystyle {X}={\left({12}\right)}{\left({3456}\right)} \) non può esistere una permutazione \( \displaystyle \alpha \) tale che \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={X} \), in quanto come minimo dovrebbe possedere due cicli disgiunti di lunghezza \( \displaystyle {4} \), oppure essere costituita da un unico ciclo di lunghezza dispari, invece è costituita da un ciclo di lungezza \( \displaystyle {2} \) e da uno di lunghezza \( \displaystyle {4} \), da qui l'impossibilità. Se invece fosse stato \( \displaystyle {X}={\left({1278}\right)}{\left({3456}\right)} \) allora avremmo \( \displaystyle \alpha={\left({13247586}\right)} \), infatti eseguendo la composizine si otterrebbe: \( \displaystyle {X}={\alpha}^{{2}} \). Spero che l'asserto sia esatto, e di non essermi
sbagliato!

[vict85]

Penso che tutta la descrizione sia un po' prolissa. Il fatto è che:
1) Cicli disgiunti commutano.
2) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo allora \(\displaystyle \alpha^d \), con \(\displaystyle d<n \), è un ciclo di ordine \(\displaystyle n \) se \(\displaystyle d \) non divide \(\displaystyle n \) mentre è il prodotto di \(\displaystyle d \) cicli disgiunti di ordine \(\displaystyle d/n \) se \(\displaystyle d \) divide \(\displaystyle n \).

Da questi due fatti, di facile dimostrazione, segue la tesi.

[edit cancellata la parte non completamente corretta]

[francicko]

x@Vict85. La dimostrazione può risultare un pò prolissa, in quanto ho cercato di esplicitare al meglio le argomentazioni
con degli esempi, ed fornire così l'esattezza dell'asserto!
Essendo che conosco poco l'argomento sulle permutazioni, ma conosco qualcosina sui gruppi, ho cercato di risolvere il problema usando solamente proprietà elementari delle permutazioni, senza ricorrere alla teoria dei gruppi, in modo da non generare confusione, anche se i due argomenti sono strettamente correlati.

Per il punto 1), ho specificato infatti che tratto sempre cicli disgiunti, diversamente non avendo assicurata
la commutatività, le argomentazioni che ho postato non starebbero in piedi.

Per il punto 2) se mi permetti, la tua asserzione a mio modesto avviso é falsa, prendiamo ad esempio un ciclo di
lunghezza \( \displaystyle {n}={6} \), \( \displaystyle \alpha={\left({123456}\right)} \), l'elemento \( \displaystyle {\alpha}^{{4}}={{\left({123456}\right)}}^{{4}}={\left({153}\right)}{\left({264}\right)} \) come puoi vedere
è composto da due cicli disgiunti di lunghezza \( \displaystyle {3} \), e non ancora da un ciclo di lunghezza \( \displaystyle {6} \),
nonostante \( \displaystyle {4} \) non divida \( \displaystyle {6} \).
Quello che asserisci risulterebbe vero se fosse \( \displaystyle {\alpha}^{{d}} \) con \( \displaystyle {\left({d},{n}\right)}={1} \), cioè se \( \displaystyle {d} \) ed \( \displaystyle {n} \) sono coprimi,
come si dimostra nei primi elementi dei gruppi ciclici, infatti corrisponde nel caso specifico che ho trattato
dove si ha \( \displaystyle {\left({2},{n}\right)}={1} \) sempre quando \( \displaystyle {n} \) è dispari.

[vict85]

Ci avevo pensato velocemente e probabilmente anche distrattamente. Ecco la versione corretta.
2bis) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo e \(\displaystyle t = (n,d) \) allora \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto \(\displaystyle t \) cicli disgiunti di lunghezza \(\displaystyle n/t \).

Si ha \(\displaystyle \langle \alpha^d \rangle = \langle \alpha^t\rangle \) in quanto \(\displaystyle \alpha^d \) ha esattamente ordine \(\displaystyle n/t\) in \(\displaystyle\langle\alpha\rangle \).

Per ogni \(\displaystyle i \) non fissato da \(\displaystyle \alpha \) consideriamo il minimo \(\displaystyle s\le n/t \) tale che \(\displaystyle (\alpha^d)^s(i) = i\) allora si avrebbe \(\displaystyle \alpha^{ds}(i) = i \). Siccome \(\displaystyle \alpha \) è un ciclo si deve avere \(\displaystyle n|ds \). Di conseguenza \(\displaystyle n|ts \) e \(\displaystyle s=n/t \). Pertanto \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto di \(\displaystyle n/t \)-cicli disgiunti e il loro numero deve per forza essere \(\displaystyle t \).


Il punto 1 è ben più immediato.

[vict85]

Mostro come si usano i miei due punti anche se la risposta è sostanzialmente già stata usata.

7. (a) [...]
(b) Determinare \(\displaystyle \alpha \in S_6 \) tale che \(\displaystyle (\alpha)^2 = (123)(456) \)
(c) Spiegare perché non esiste \(\displaystyle \alpha \in S_6 \) tale che \(\displaystyle (\alpha)^2 = (12)(3456)\)

(b) Per il mio punto 2bis posso avere due casi:

• \(\displaystyle \alpha \) è un \(\displaystyle 6 \)-ciclo. Infatti in quel caso il \(\displaystyle 6 \)-ciclo si spezzerebbe in due cicli disgiunti.
• \(\displaystyle \alpha \) è il prodotto di due \(\displaystyle 3 \)-ciclo disgiunti; uno per ogni \(\displaystyle 3 \)-ciclo disgiunto di \(\displaystyle (123)(456) \).

Nel primo caso ricavo \(\displaystyle \alpha = (142536) \). Nel secondo invece ricavo \(\displaystyle \alpha = (132)(465) \). Siccome non ci sono elementi fissati queste due soluzioni sono anche le uniche 2.


(c)Il secondo è più semplice. Supponiamo per assurdo che esista \(\displaystyle \alpha \). Per il 2bis so che \(\displaystyle (12) \) e \(\displaystyle (3456) \) non posso derivare dallo stesso ciclo della scomposizione di \(\displaystyle \alpha \). Questo significa che \(\displaystyle \alpha = \sigma_1\sigma_2 \) dove \(\displaystyle \sigma_1 \) e \(\displaystyle \sigma_2 \) sono cicli tali che \(\displaystyle \sigma_1^2 = (12) \) e \(\displaystyle \sigma_2^2 = (3456) \).
Siccome le potenze di un ciclo fissano lo stesso numero di elementi del ciclo di partenza allora \(\displaystyle \sigma_1 \) è un \(\displaystyle 2 \)-ciclo e \(\displaystyle \sigma_2 \) è un \(\displaystyle 4 \)-ciclo. Ma allora \(\displaystyle \sigma_1^2 = 1\neq (12)\) e \(\displaystyle \sigma_2^2 \) è il prodotto di due \(\displaystyle 2 \)-cicli contro le ipotesi.

[francicko]

Si d'accordo , ma resto dell'idea che il ragionamento che ho postato io, resta esatto e lineare, in quanto non fa ricorso
alla definizione di ordine di un elemento che è propria dei gruppi , ma utilizza strettamente la definizione di lunghezza del ciclo di una permutazione, e il fatto che una permutazione il cui ciclo è di lunghezza dispari(pari) si può scomporre in un numero pari(dispari) di trasposizioni disgiunte, null'altro.
Saluti.