Dubbio esercizi su permutazioni

[cifa]

Salve a tutti,
Sto svolgendo il seguente esercizio :

7. (a) Verificare se \( \displaystyle σ∈{S}{n} \) e` una permutazione di classe dispari, non
esiste alcuna permutazione \( \displaystyle α∈{S}{n} \) tale che \( \displaystyle {{\left(α\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle =σ. \)
(b) Determinare \( \displaystyle α∈{S}{6} \) tale che\( \displaystyle {{\left(α\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle ={\left({123}\right)}{\left({456}\right)} \).
(c) Spiegare perch ́ non esiste \( \displaystyle α∈{S}{6} \) tale che \( \displaystyle {{\left(α\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle ={\left({12}\right)}{\left({3456}\right)}. \)

Per il punto a) Il mio ragionamento è stato: se faccio \( \displaystyle {{\left(α\right)}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {\left(α\right)} \) è pari, avrò una somma di trasposizioni pari, se \( \displaystyle {\left(α\right)} \) la stessa cosa dato che dispari+dispari=pari. Questo ragionamento porta poi al supporre che il numero di trasposizioni di un qualsiasi \( \displaystyle {{\left(α\right)}}^{{2}} \) deve essere pari. Non so per quale motivo, ma mi sento molto insicuro su tale ragionamento :\

Il punto b invece mi da difficoltà, ho provato "a tentativi" e sono arrivato ad una soluzione, ma vorrei capire qual'è il metodo corretto da seguire.

Il punto c proprio non so come uscirne, in generale quando è valido con \( \displaystyle α∈{S}{n} \) che \( \displaystyle {{X}}^{{2}} \) = \( \displaystyle α \) ?


Vi ringrazio in anticipo, anche solo per la pazienza!

[perplesso]

Secondo me...

(a) Si, se componi due permutazioni dispari o due pari, ti viene una permutazione pari.
(b) Per esempio \( \displaystyle {\left({142536}\right)} \) Forse ti può essere utile questo topic (l'ultimo post)
(c) \( \displaystyle {{\left(\alpha\right)}}^{{2}} \) ha periodo 4 allora \( \displaystyle \alpha \) dovrebbe avere periodo 8 , ma se siamo in \( \displaystyle {S}_{{6}} \) ...

Ciao

[cifa]

Intanto ti ringrazio, ma perchè alfa deve essere d'ordine 4 ?
Scusa la domanda sciocca

[perplesso]

Perchè il periodo di una permutazione è uguale al massimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli disgiunti
\( \displaystyle {\left({12}\right)}{\left({3456}\right)} \) è prodotto di un ciclo di lunghezza 2 e uno di lunghezza 4, quindi \( \displaystyle {m}{c}{m}{\left({2},{4}\right)}={4} \)

[francicko]

x@cifa. Ti prego di vagliare attentamente la mia risposta , in quanto essendo un profano in materia potrei benissimo sbagliarmi,
inoltre conosco poco il gruppo \( \displaystyle {S}_{{n}} \).

Per quanto riguarda il punto (b) , il fatto che la permutazione \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {\left({123}\right)}{\left({456}\right)} \), sia composta da cicli disgiunti
di lunghezza \( \displaystyle {3} \), non è casuale, infatti se consideriamo separatamente uno dei due cicli della permutazione suddetta,
ad esempio il ciclo \( \displaystyle {\left({123}\right)} \) esso come elemento del gruppo \( \displaystyle {S}_{{6}} \) può generare le seguenti permutazioni:
\( \displaystyle {{\left({123}\right)}}^{{2}}={\left({132}\right)} \), ed \( \displaystyle {{\left({123}\right)}}^{{3}}={I}_{{{S}_{{6}}}} \), trovandoci in un sottogruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {3} \), a sua volta risulterà necessariamente \( \displaystyle {{\left({132}\right)}}^{{2}}={\left({123}\right)} \). Analogamente se consideriamo il ciclo \( \displaystyle {\left({456}\right)} \), avremo \( \displaystyle {{\left({456}\right)}}^{{2}}={\left({465}\right)} \) ed \( \displaystyle {{\left({465}\right)}}^{{2}}={\left({456}\right)} \), quindi la permutazione cercata è la seguente:
\( \displaystyle \alpha \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {\left({132}\right)}{\left({465}\right)} \), infatti \( \displaystyle {\left({132}\right)}{\left({465}\right)} \)\( \displaystyle \cdot \)\( \displaystyle {\left({132}\right)}{\left({465}\right)} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {\left({123}\right)}{\left({456}\right)} \).
Se consideriamo la permutazione \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {\left({12}\right)}{\left({3456}\right)} \) questa è composta da due cicli disgiunti rispettivamente di lunghezza \( \displaystyle {2} \) e lunghezza \( \displaystyle {4} \); analogamente come al caso precedente consideriamo separatamente il ciclo \( \displaystyle {\left({12}\right)} \) esso come elemento di \( \displaystyle {S}_{{6}} \) genera le seguenti permutazioni \( \displaystyle {\left({12}\right)} \), ed \( \displaystyle {{\left({12}\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle ={I}_{{{S}_{{6}}}} \), cioè un sottogruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {2} \), pertanto non esiste nessun elemento il cui quadrato dà \( \displaystyle {\left({12}\right)} \), e già possiamo concludere che in questo caso non può esistere nessuna permutazione \( \displaystyle \alpha \) il cui quadrato \( \displaystyle {\alpha}^{{2}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {\left({12}\right)}{\left({3456}\right)} \). Ugualmente se prendiamo in considerazione separatamente il ciclo \( \displaystyle {\left({3456}\right)} \), esso genera un sottogruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {4} \), cioè gli elementi \( \displaystyle {\left({3456}\right)} \)
, \( \displaystyle {{\left({3456}\right)}}^{{2}} \),\( \displaystyle {{\left({3456}\right)}}^{{3}} \),\( \displaystyle {{\left({3456}\right)}}^{{4}}={I} \), e come si può vedere non esiste nessun elemento di tale sottogruppo il cui quadrato dia il ciclo \( \displaystyle {\left({3456}\right)} \). Se consideriamo invece la permutazione \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={\left({23456}\right)} \) essendo costituita solamente da un ciclo di lunghezza \( \displaystyle {5} \), dispari,é quindi di ordine dispari , posso asserire con certezza che esiste \( \displaystyle \alpha \),infatti risulta \( \displaystyle \alpha={\left({25364}\right)} \). Perchè? A mio modesto avviso il motivo è che se una permutazione risulta costituita da cicli disgiunti di lunghezza dispari é sempre possibile trovare \( \displaystyle \alpha \). Ciò è dovuto al fatto che se considero un gruppo ciclico \( \displaystyle {G}=\lt{a}\gt \) di ordine \( \displaystyle {n} \) dispari , quindi \( \displaystyle {n} \) della forma \( \displaystyle {n}={2}{k}+{1} \), basta considerare l'elemento \( \displaystyle {{a}}^{{{k}+{1}}} \) , infatti \( \displaystyle {{\left({{a}}^{{{k}+{1}}}\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {{a}}^{{{\left({k}+{1}\right)}{2}}} \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle {{a}}^{{{2}{k}+{1}+{1}}}={{a}}^{{{n}+{1}}}={a} \). Con qualche esempio dovrebbe apparire più chiaro, se considero la permutazione

\( \displaystyle {X}={\left({12345}\right)}{\left({678}\right)} \) avrò \( \displaystyle \alpha={\left({14253}\right)}{\left({687}\right)} \), infatti \( \displaystyle {\left({14253}\right)}{\left({687}\right)}\cdot{\left({14253}\right)}{\left({687}\right)}={{\left({14253}\right)}}^{{2}}\cdot{{\left({687}\right)}}^{{2}}={\left({12345}\right)}{\left({678}\right)} \),

se prendo invece la permutazione \( \displaystyle {X}={\left({123456789}\right)} \) avrò \( \displaystyle \alpha={\left({162738495}\right)} \) infatti \( \displaystyle {\left({162738495}\right)}\cdot{\left({162738495}\right)} \)\( \displaystyle = \)

\( \displaystyle {\left({123456789}\right)} \), pertanto sembrerebbe essere giusto l'asserto.
Probabilmente se riuscissi a scrivere le permutazioni con notazione bidimensionale invece che ciclica risulterebbe più chiaro, solo che purtroppo non conosco il codice!

Spero di non aver detto delle eresie, visto che conosco poco l'argomento, e di esserti stato di aiuto!

[cifa]

Perdonami perplesso ho scritto male io, intendevo perchè alfa periodo 8

francicko ti ringrazio molto!

[perplesso]

\( \displaystyle {1}={{\left({\alpha}^{{2}}\right)}}^{{4}}={\alpha}^{{8}} \)

Ti prego di vagliare attentamente la mia risposta , in quanto essendo un profano in materia potrei benissimo sbagliarmi

Mi associo, vale anche per me

[francicko]

@cifa.Prego!
Comunque quando avrai finito con calma , di vagliare il mio postato, ci terrei a conoscere la tua opinione sulla veridicità o meno di cio che ho scritto.
Nell'attesa di una risposta , ti porgo cordiali saluti!

[francicko]

Se c'è qualcuno che conosce il codice per scrivere le permutazioni in notazione bidimensionale, potrebbe postarmelo?
Grazie

[vict85]

Usa le matrici...

Tra i vari modi:

\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 1 & 4 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right) = (12)(3465)\)