Come da titolo ho un dubbio di natura prettamente geometrica, anche se applicato allo studio della Mineralogia e in particolare ai principi della Cristallografia. Il dubbio verte sugli operatori elementari di rotoinversione. Per capire meglio il discorso, allego una immagine molto esplicativa tratta da Mineralogia, XII edizione di Kornelis Klein, a pagina 172:
Ragionando sull'immagine, sono rappresentati 4 operatori di rotoinversione dei 5 possibili (\( \displaystyle {\overline{{{1}}}} \) era nella pagina precedente e non è importante ai fini del topic), cioè \( \displaystyle {\overline{{{2}}}} \), \( \displaystyle {\overline{{{3}}}} \), \( \displaystyle {\overline{{{4}}}} \) e \( \displaystyle {\overline{{{6}}}} \), con relative operazioni illustrate in figura.
Questi operatori prendono il motivo iniziale (le virgolette nere) e la trasformano tramite rotoinversione nelle virgolette tratteggiate. Le virgolette sono scelte per illustrare le operazioni di simmetria perchè sono prive di simmetria propria e quindi non generano confusione, ma nella realtà le virgolette sono molecole in un reticolo cristallino.
Ultima nota: i piccoli simboli al centro delle proiezioni di ogni operazione, sulla destra (per intenderci il triangolino "bucato", l'ovale nel quadrato e il triangolo nell'esagono), sono i simboli grafici convenzionali per indicare le rotoinversioni, non c'entrano niente con l'operazione stessa.
Ora, partendo dal fatto che l'operatore \( \displaystyle {\overline{{{2}}}} \), che implica 180° di rotazione e inversione per un punto, è anche equivalente ad una riflessione:
? Perchè il testo dice che l'operatore \( \displaystyle {\overline{{{4}}}} \) non è scomponibile in operazioni più semplici (rotazione, inversione per un punto, riflessione)? A me sembra che basti ruotare di 90° le virgolette in alto e poi rifletterle sul piano equatoriale per ottenere quella figura, o mi sbaglio? Nella notazione mineralogica si scriverebbe \( \displaystyle {\overline{{{4}}}}={4}+{m} \), dove \( \displaystyle {4} \) significa rotazione di 90° (360°/4=90°) del motivo (le virgolette) e \( \displaystyle {m} \) significa riflessione (da mirror, specchio in inglese). Forse do per scontato qualcosa che non è, non so.
Mi è appena venuta in mente una possibile risposta, ora la pubbilco, ma mantengo aperto il topic per eventuali smentite:
! L'operazione \( \displaystyle {\overline{{{4}}}} \) non è scomponibile in operatori di simmetria elementari perchè gli operatori componenti, rispetto a quel motivo, non sono indipendentemente simmetrici, mentre solo la loro combinazione, cioè \( \displaystyle {\overline{{{4}}}} \), è un operatore simmetrico, inteso come una trasformazione che lascia inalterata la figura e in questo caso il motivo.
Cioè, la rotazione di 90° (operatore \( \displaystyle {4} \)) e la riflessione (operatore \( \displaystyle {m} \)) delle virgolette, applicati uno subito dopo l'altro, sono equivalenti all'operatore \( \displaystyle {\overline{{{4}}}} \) e restituiscono la configurazione iniziale delle virgolette (sono quindi simmetrici), ma presi singolarmente non rispettano la configurazione di cui sopra, cioè non sono simmetrici singolarmente!
Correggetemi se sbaglio, vi prego!
