Dubbio Indice di condizionamento con norma

[Fab10Messi]

Ciao a tutti,
premetto che sto studiando per Metodi Matematici e non per Geometria.
Non mi è chiarissimo il concetto di mal condizionamento di una matrice. So cosa vuol dire mal condizionamento ma non capisco la relazione che il condizionamento di una matrice possiede nei confronti di una norma.
Ho potuto verificare che l'indice di condizionamento varia a seconda della norma utilizzata. Questo mi fa dedurre che una matrice potrebbe essere mal condizionata per una norma, ma non per qualcun'altra.
Per il calcolo del condizionamento della matrice A utilizzo la formula \( \displaystyle {k}_{{b}}={\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{b}}\cdot{\left|{\left|{{A}}^{{-{1}}}\right|}\right|}_{{b}} \), con b numero della norma.

Se ad esempio considero la matrice di Hilbert e voglio dimostrare che è mal condizionata posso utilizzare qualunque norma per dimostrarlo? Facendo delle prove vengono indici diversi a seconda della norma utilizzata quindi probabilmente non posso. Ma questa storia mi suona male :)

Grazie anticipatamente

[dissonance]

Però si può verificare euristicamente che l'ordine di grandezza del condizionamento di una matrice è sempre lo stesso con qualsiasi norma. Tieni conto che in questo ambito applicato devi spesso usare risultati euristici. Trovi informazioni su Moler, capitolo 2. Passo anche un link "mio", che riguarda grossomodo questo argomento:

http://www.matematicamente.it/forum/un- ... 54179.html

[Fab10Messi]

Grazie mille.
In effetti ho provato a calcolare gli indici di condizionamento con differenti norme ed euristicamente si vede subito che sono molto simili. Quindi dimostrare che una matrice sia mal condizionata si può fare con qualunque norma, seppur matematicamente vengano risultati differenti.
L'ordine di grandezza è lo stesso quindi sono in grado di dimostrare che una matrice è mal (ben) condizionata applicando la norma più semplice possibile.
Ti ringrazio perchè hai chiarito il mio dubbio!
A presto!

[gugo82]

@dissonance: Questo dipende dal fatto che tutte le norme su uno spazio finito dimensionale sono equivalenti, vero?

[dissonance]

Io veramente di questo mi sono data una interpretazione geometrica solo intuitiva. Il numero di condizionamento della matrice \( \displaystyle {A} \) misura l' "eccentricità" dell'immagine mediante \( \displaystyle {A} \) della sfera unitaria: più precisamente, detto \( \displaystyle {E}={\left\lbrace{A}{x}\ :\ {\left|{\left|{x}\right|}\right|}={1}\right\rbrace} \) (\( \displaystyle {E} \) come "ellissoide" - si intende che questo è davvero un ellissoide solo in dimensione 3) il numero di condizionamento di \( \displaystyle {A} \) è il rapporto tra la lunghezza del semiasse maggiore e la lunghezza del semiasse minore di \( \displaystyle {E} \): più questo numero è grande più le soluzioni del sistema lineare \( \displaystyle {A}{x}={b} \) saranno sensibili a perturbazioni sui dati.

Cambiare norma di matrice (*) significa cambiare la metrica con cui si misurano queste lunghezze, ma dal momento che poi si fa un rapporto non si riuscirà mai a rendere arbitrariamente prossimo a \( \displaystyle {1} \) un numero di condizionamento maggiore strettamente di \( \displaystyle {1} \). Questa naturalmente non è una dimostrazione ma l'idea intuitiva che mi sono fatto.

Volendo fare un discorso rigoroso, certamente si deve passare dall'equivalenza delle norme. Mi ricordo di avere letto teoremi al riguardo sul manuale di algebra lineare numerica Metodi numerici per l'algebra lineare di Bini-Capovani-Menchi. Ha un ruolo anche la disuguaglianza \( \displaystyle {\left|{\left|{A}\right|}\right|}\ge{r}{\left({A}\right)} \) (raggio spettrale di \( \displaystyle {A} \), il massimo modulo degli autovalori), mi pare. Ci vorrebbe l'opinione di qualche analista numerico, qui.


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(*) e ricordando che \( \displaystyle {\left|{\left|{A}\right|}\right|}=\text{max}{\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}}}} \), ovvero consideriamo solo norme di matrice indotte da norme vettoriali.

[Fab10Messi]

In effetti interesserebbe anche a me un riferimento a qualche regola o dimostrazione generale.
Anche se in modo intuitivo è visibile a te che sei un matematico, considera che la prof potrebbe chiedermi una spiegazione e dovrei uscire dalla manica qualche teorema di equivalenza.. se si riuscisse ad avere un riferimento sarebbe perfetto :)

[dissonance]

Ma a che livello è il corso che stai seguendo? Mi pare strano che ti possa essere richiesta una dimostrazione formale di teoremi su questo argomento a meno che tu non stia seguendo un corso avanzato di analisi numerica. Questo perché sui libri di base, per quello che ho visto, su questo argomento si tende a "tirare via" o al massimo a fare come Moler (e come ho fatto pure io): dire che è così euristicamente e amen.

Prova a consultare il libro di Moler, a proposito, se cerchi un riferimento. Nel secondo capitolo si parla di numeri di condizionamento. E' un bellissimo libretto.

[Fab10Messi]

Sto seguendo Metodi Matematici di Ingegneria Informatica ma l'insegnante pretende parecchio.
Comunque non devo andare oltre il programma che lei ha spiegato quindi non mi interessa tanto una dimostrazione ma se ci fosse un riferimento potrei dire "indifferentemente dalla norma che utilizzo posso verificare il condizionamento di un problema perchè lo dice MarioRossi nel teorema di MarioRossi"
Ovviamente non mi andrei neanche a guardare il teorema in questione (se esiste)

[dissonance]

La cosa migliore da fare è chiedere alla professoressa. Io non ti so essere di maggiore aiuto. Anzi, se dovessi saperne di più, faccelo sapere perché interessa anche me.