Dubbio riduzione in forma canonica di una conica

[Xorik]

Ciao a tutti, allora oggi mentre studiavo come effettuare la riduzione in forma canonica di una conica mi è sorto un dubbio, cioè:
nel momento in cui trovo i due autovalori...come faccio a capire quale dei due sarà il coefficiente di x e quale quello di y senza trovare gli autovettori, sostituire ecc?
Mi spiego meglio: data questa applicazione lineare \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{2}{x}{y}+{3}{{y}}^{{2}}+{2}{x}-{10}{y}+{7}={0} \) vado a trovare i determinanti delle matrici che vengono \( \displaystyle {A}=-{32} \) e \( \displaystyle {B}={8} \) dove A è quella totale, mentre B è quella dei termini di secondo grado.
Dopodichè trovo i due autovalori:
\( \displaystyle {a}={2} \)
\( \displaystyle {b}={4} \)
Il dubbio è qui...come faccio a dire a priori che viene \( \displaystyle {2}{{X}}^{{2}}+{4}{{Y}}^{{2}}-{4}={0} \) e non \( \displaystyle {4}{{X}}^{{2}}+{2}{{Y}}^{{2}}-{4}={0} \) in che modo quindi scelgo il vettore da associare a x e y? Grazie e spero di essermi spiegato abbastanza chiaramente...

[cirasa]

Quando l'ho studiata io (tanto tempo fa) la forma canonica di una conica, abbiamo dimostrato il seguente
Teorema: Data una conica \( \displaystyle {C} \) esiste un sistema di riferimento ortonormale tale che l'equazione della conica \( \displaystyle {C} \) è in forma canonica.
Il riferimento "giusto" è quello per cui (per esempio nel caso ellisse) il centro è posto nell'origine del sistema di riferimento e gli assi cartesiani coincidono con gli assi dell'ellisse.

Detto questo, le due equazioni
(1) \( \displaystyle {2}{{X}}^{{2}}+{4}{{Y}}^{{2}}={4} \)
e
(2) \( \displaystyle {4}{{\left({X}'\right)}}^{{2}}+{2}{{\left({Y}'\right)}}^{{2}}={4} \)
sono entrambe equazioni canoniche della tua ellisse, naturalmente in un sistema di riferimento diverso.
Naturalmente il sistema di riferimento \( \displaystyle {\left({O},{X}',{Y}'\right)} \) è ottenuto dall'altro scambiando \( \displaystyle {X} \) e \( \displaystyle {Y} \).