Dubbio su un problema di geometria analitica

[nicolaflute]

Salve a tutti sono alle prese con un problema che non riesco a capire
Dato il fascio di rette \( \displaystyle (k+1)x+y+2+2k=0 \) detto C il centro del fascio ed \( \displaystyle a \) la retta del fascio parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, determinare le equazioni delle rette perpendicolari ad \( \displaystyle a \) che formano con \( \displaystyle a \) e con l'asse x un triangolo avente un vertice in C e di area \( \displaystyle \frac{9}{4} \) .
Allora io ho trovato il centro che dovrebbe essere (-2;0), la bisettrice del 1° e 3° quadrante è data dall'equazione y=x.
Vorrei un aiutino per capire come dovrei procedere con questo triangolo dato che proprio non ci arrivo.... per il triangolo ho pensato alla formula dell'area ma non so come usarla!! Vi prego aiutatemi grazie.

[piero_]

Trovati prima la retta \( \displaystyle {a} \) del fascio, imponendo che il coefficiente angolare del fascio sia 1.

[nicolaflute]

Io posso trovare una retta qualsiasi parallela.... magari passante per C
quindi applico la formula \( \displaystyle y-y_1=m(x-x_1) \) così
\( \displaystyle y-0=1\cdot(x+2) \) giusto?

[piero_]

LA retta del fascio deve necessariamente passare per il centro (se il fascio è proprio, come in questo caso). La retta del fascio parallela alla bisettrice del I e III quadrante è quella che hai trovato tu.
Adesso scrivi una generica perpendicolare a tale retta:
\(s) \ y=-x+q\) con \(q \in \mathbb{R} \)
Il tuo triangolo è formato da
\(C(-2;0)\)
\(B(q;0)\)
\( \displaystyle {A} \) intersezione tra \( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {s} \)
prosegui tu

[nicolaflute]

Credo di non aver capito... che cosa sono r ed s??

[piero_]

\( \displaystyle {s} \) è la generica retta perpendicolare ad \( \displaystyle {a} \) (quella che io ho chiamato r, non vedendo che era già stata battezzata dal testo).
\( \displaystyle A\equiv \left(\frac{q-2}{2};\frac{q+2}{2} \right)\)
Dimmi se ti è chiaro.

[nicolaflute]

Si ora mi è chiaro... proverò come mi è stato appena suggerito; grazie! Farò sapere

[nicolaflute]

OK ho provato ma non ci sono riuscito.... ho provato in questo modo:
ho preso una retta a caso che ho considerato come lato.
per es. AB e ne ho calcolato la lunghezza
a me è venuto fuori
\( \displaystyle \frac{(q+2)·\sqrt{2}}{2} \) poi ho calcolato l'equazione passante per A e per B e mi ha dato \( \displaystyle x+y-q \)
ho fatto la distanza da C ad AB e ho avuto questo risultato \( \displaystyle \frac{|q-2|}{\sqrt{2}} \)
la mia idea era moltiplicare questo risultato per la lunghezza di AB,dividerlo per 2 ed eguagliarlo a 9/4... ho provato ma non ho ottenuto il risultato che volevo....

[piero_]

Un po' di confusione...
I lati AB e AC del triangolo rettangolo ABC sono congruenti (puoi vederlo con considerazioni geometriche, oppure facendo le lunghezze dei segmenti AB e AC).
Calcola la misura di AB:
\(\displaystyle AB= \frac {\sqrt 2}{2} |q+2|\)

\(\displaystyle AC= \frac {\sqrt 2}{2} |q+2|\)

\(\displaystyle \frac {1}{2} AB \cdot AC= \frac {9}{4}\)

due soluzioni:
q=-5
q=1

[nicolaflute]

Quelle soluzioni poi le sostituirò all'equazione trovata in precedenza.... x+y-q..
ora ho capito... il mio ragionamento finale era giusto però ho sbagliato calcoli se non ho capito male... comunque grazie