Dubbio sul prodotto misto

[peppone19]

Salve ragazzi ho questo dubbio...
Dati i vettori \( \displaystyle {\vec{{u}}}{\left({1},{0},{2}\right)}{\vec{{v}}}{\left(-{1},{3},{4}\right)}{\vec{{w}}}{\left({a},{b},{1}\right)} \) devo trovare per quali valori di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) il vettore \( \displaystyle {\vec{{w}}} \) è perpendicolare ai vettori \( \displaystyle {\vec{{u}}} \) e \( \displaystyle {\vec{{v}}} \) . Allora mi è venuto in mente il prodotto misto di 3 vettori, mettendo a matrice i 3 vettori il determinante deve essere nullo o diverso da zero? E' giusto come sto procedendo? se no come si fa?

[apatriarca]

Usando quel metodo puoi solo trovare i valori per cui quel vettore è linearmente indipendente o meno con gli altri. Siccome siamo però in \(\mathbb R^3\), tutti i vettori perpendicolari a due vettori linearmente indipendenti sono paralleli al loro prodotto vettoriale.

[peppone19]

quindi come procedo faccio il prodotto vettoriale tra u e v e poi?

[apatriarca]

E poi trovi i valori di \(a\) e \(b\) per cui il prodotto vettoriale e il vettore \(w\) siano paralleli.

[peppone19]

Cioè mettendo a matrice le componenti del vettore che mi è venuto fuori dal prodotto vettoriale tra u e v e le componenti di w, imponendo il determinante uguale a zero?

[apatriarca]

Ma NO!!! Stai cadendo in un bicchiere d'acqua.. Due vettori \(v\) e \(w\) sono paralleli se \(v = \lambda \, w\) per un qualche \(\lambda \in \mathbb R\).

[peppone19]

possiamo farlo insieme? allora ho trovato il prodotto vettoriale tra u e v che è -6i-6j+3k, come procedo? potresti scrivermelo...

[Antimius]

Basta che scrivi la relazione che ti ha scritto apatriarca coi giusti vettori. Dopodiché ti accorgerai da solo cosa fare, determinando il \( \displaystyle \lambda \) .

[peppone19]

potreste aiutarmi a scriverlo?

[apatriarca]

Devi risolvere:
\[ (a, b, 1) = \lambda \, (-6,-6,3). \]