dubbio trasformata di laplace

[vitos]

Gentili utenti del forum ho un dubbio.

Non capisco perchè

\( \displaystyle {L}{\left[{u}{\left({t}\right)}{\cos{\omega}}{t}\right]}={L}{\left[{\cos{\omega}}{t}\right]} \)

dove L e l'operatore trasformata e u(t) è la funzione a gradino con discontinuità nel punto 0
(Ho trovato questa relazione scritta sul mio libro di controlli automatici).

Infatti per la definizione di trasformata di Laplace \( \displaystyle {F}{\left({s}\right)}={L}{\left[{f{{\left({t}\right)}}}\right]}={\int_{{{{0}}^{{-}}}}^{{+\infty}}}{f{{\left({t}\right)}}}{{e}}^{{{s}{t}}}{\left.{d}{t}\right.} \).

Quindi se \( \displaystyle {f{{\left({{0}}^{{-}}\right)}}}={0} \) e \( \displaystyle {f{{\left({{0}}^{+}\right)}}}={1} \) e l'integrale è definito da \( \displaystyle {{0}}^{{-}} \) a +\( \displaystyle \infty \) come fa a verificarsi questa relazione: \( \displaystyle {L}{\left[{u}{\left({t}\right)}{\cos{\omega}}{t}\right]}={L}{\left[{\cos{\omega}}{t}\right]} \)
?

grazie delle risposte

[elgiovo]

Non ti creare troppi problemi. La trasformata unilatera prende in considerazione solo ciò che accade nel semiasse positivo. Quella definizione con \( \displaystyle {{0}}^{{-}} \) serve solo a fugare dubbi nel caso in cui ci sia "massa puntuale" nell'origine, ad esempio una delta di Dirac (che faccio, la integro o non la integro?). Inoltre il tuo esempio non è calzante, infatti ai fini dell'integrale non ti interessa il valore della funzione in 0, ha un peso nullo e tra l'altro dipende da come definisci il gradino (a volte si dice che vale 1/2 nel "salto").

[vitos]

Grazie mille della risposta molto esauriente.
Buona serata