Due circonferenze

[elios]

Date due circonferenze C e C' di uguale raggio, trovare il luogo dei punti medi dei segmenti AA', con A in C e A' in C'.

[Ho provato a fare uno schizzo di quello che mi sta chiedendo, e mi sembra di ottenere due circonferenze, dal raggio pari alla metà delle due circonferenze iniziali, una al di sopra del segmento che unisce i due centri e una al di sotto. Ho provato a ricavarmi il luogo dei punti con la geometria analitica, ma credo ci sia un modo migliore. Grazie!]

[Martino]

Non si accenna alla posizione reciproca delle due circonferenze, immagino.

[elios]

No, non se ne accenna. Difatti ho immaginato quella più generica, circonferenze esterne. Ma credo che il risultato debba essere valido per ogni tipo di coppia di circonferenze..

[WiZaRd]

Il luogo geometrico che ne dovrebbe venire fuori dovrebbe essere al quanto strano, suppongo. Per esempio, se si considera l'asse radicale delle due circonferenze e si prendono i punti \( \displaystyle {A} \) ed \( \displaystyle {A}' \) di modo che questi punti siano simmetrici rispetto al predetto asse, una parte del luogo è costituita da un segmento dell'asse radicale.
Problema interessante: sono curioso di vedere come si risolve.

[elios]

Consigliate la geometria analitica o quella sintetica?

[WiZaRd]

Onestamente, non ne ho idea. QUella analitica mi lascia parecchio perplesso.
Posto che si può centrare il sistema di riferimento nel centro di una delle due circonferenza, si hanno due equazioni \( \displaystyle \Gamma:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={R} \) e \( \displaystyle \Gamma':{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{a}{x}+{b}{y}+{c}={0} \). Ma a questo punto no nho molte idee.

[MaMo]

Date due circonferenze C e C' di uguale raggio, trovare il luogo dei punti medi dei segmenti AA', con A in C e A' in C'.
...

Un problema simile era stato proposto da elgiovo nella maratona di problemi.
Il luogo cercato dovrebbe essere il cerchio di raggio r e centro nel punto medio del segmento che congiunge i centri delle due circonferenze.

[elios]

Ho cercato il problema da te detto ed è:
"Problema
Siano Γ1 e Γ2 due cerchi i cui centri
si trovino a distanza 10 l'uno dall'altro,
e i cui raggi siano 1 e 3.
Si trovi il luogo di tutti i punti X per i
quali esistono punti H su Γ1 e K su Γ2
tali per cui X sia il punto medio del
segmento HK."

Come vedi è un po' diverso..

[WiZaRd]

con A in C e A' in C'.

Ma, con questa dicitura, si deve intendere che \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {A}' \) sono punti delle circonferenze (i.e. \( \displaystyle {A}\in{\mathfrak{{{C}}}} \) e \( \displaystyle {A}'\in{\mathfrak{{{C}}}}' \)) oppure si deve intendere che \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {A}' \) stanno all'interno delle due predette circonferenze?

[IvanTerr]

Secondo lo schizzo che ho fatto, dovrebbe trattarsi di un'area circolare, cioè la superficie che una circonferenza di raggio uguale a quello delle circonferenze delimita e che si trova esattamente tra le due. Qualunque sia, infatti, la disposzione delle due circnferenze date, il luogo risulta la superficie della circonferenza chiusa posta tra le due. In altre parole, gli infiniti punti medi dei segmenti che si possono tracciare da A a B (A e B le due circonferenze), compongono una superficie.