due integrali recchie di porcelli....

[Camillo]

\( \displaystyle \int\frac{{\left.{d}{x}\right.}}{{{x}+{1}}}={\ln{{\left({x}+{1}\right)}}}+{k} \) e non \( \displaystyle {\ln{{x}}}+{1} \)

[Springer87]

si camillo quello si....ma quando ce ne sono tre sotto sono guai.....almeno che facendo laa divisione polinomiale si arriva aa due sotto....
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààààà

[Martino]

si camillo quello si....ma quando ce ne sono tre sotto sono guai.....almeno che facendo laa divisione polinomiale si arriva aa due sotto....
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààààà

Hai guardato il metodo del completamento dei quadrati di cui ti abbiamo parlato sia io che apocalisse86 ? Se "ce ne sono due o tre sotto" basta usare tale metodo riducendoti così, se al denominatore c'è un polinomio di secondo grado con delta negativo, alla derivata dell'arcotangente. Se invece il delta è positivo devi scrivere la frazione come somma di frazioni a denominatore di grado 1 arrivando a due "derivate di logaritmi", e se il delta è zero, l'integrale è immediato.

Per quanto riguarda "impararsi a memoria gli integrali fondamentali", io credo piuttosto che a forza di usarli e apprezzarne la potenza non possano che rimanerti in mente, come la tua lingua madre.

[Ene@]

ma cosaa devo rivedermi, come sii chiama questa roba????
porca miseria ma è molto difficile, bisogna essere troppo esperti....
datemi qualche consiglioo
ciàààààààààààààààààà

Non si deve essere troppo esperti per aprire un libro e cercare un argomento.Trovo più difficile la strada che stai seguendo tu.

[Springer87]

lo sòòò ma qui si tratta di esercitarsi...e qualche buon consiglio...quando si hanno due, tre oo quattro al denominatore....
ciààààà

[Ene@]

Ecco la divisione

http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ip ... oli_09.htm

[Apocalisse86]

Se ti vuoi esercitare bene e vuoi capire come integrare una vasta tipologia di funzioni ti consiglio un libricino della Collana Esami della TECNOS, è il 6 Volume si chiama proprio: INTEGRALI(274 esercizi svolti), è molto utile e costa pochissimo non ricordo se 6 o 7Euro!!
Per ora cercherò comunque di venire il più possibile incontro alle tue esigenze...o almeno ci provo. Per prima cosa gli integrali immediati vanno ricordati a memoria..purtroppo!!Non sono tanti e poi molta pratica aiuta!!Passiamo all'integrazione delle funzioni razionali fratte.
Premettiamo che ogni funzione razionale fratte può essere integrata esprimendo le sue primitive come una funzione razionale,un logaritmo, un'arcotangente o una somma di queste.
Per facilità consideriamo diversi casi:
\( \displaystyle \int{\frac{{{N}{\left({x}\right)}}}{{{D}{\left({x}\right)}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) se il numeratore è di grado minore del denominatore possiamo avere
1)il numeratore è la derivata del denominatore \( \displaystyle \int{\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}}}{{{f{{\left({x}\right)}}}}}}{\left.{d}{x}\right.}={\ln}{\left|{f{{\left({x}\right)}}}\right|}+{c} \)
2)il denominatore è di primo grado \( \displaystyle \int{\frac{{{1}}}{{{a}{x}+{b}}}}{\left.{d}{x}\right.}={\frac{{{1}}}{{{a}}}}{\ln}{\left|{a}{x}+{b}\right|}+{c} \)
3)D(x) ha radici reali semplici(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA>0)
esempio:
\( \displaystyle \int{\frac{{{\left.{d}{x}\right.}}}{{{{x}}^{{2}}-{1}}}} \)
si pone \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{1}}}}={\frac{{{A}}}{{{x}-{1}}}}+{\frac{{{B}}}{{{x}+{1}}}} \) cioè si scompone la frazione in fratti semplici e si determinano A e B utilizzando il principio d'identità dei polinomi*
4)D(x) ha radici reali e multiple(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA=0)
esempio:
\( \displaystyle \int{\frac{{{x}+{2}}}{{{{x}}^{{2}}{\left({x}-{2}\right)}}}}{\left.{d}{x}\right.} \)
si pone \( \displaystyle {\frac{{{x}+{2}}}{{{{x}}^{{2}}{\left({x}-{2}\right)}}}}={\frac{{{A}}}{{{x}}}}+{\frac{{{B}}}{{{{x}}^{{2}}}}}+{\frac{{{C}}}{{{x}-{2}}}} \) cioè si scompone la frazione in fratti semplici, in questo caso \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) presenta una molteplicità algebrica pari a 2 cioè ha come soluzione 0 ma questa soluzione è doppia quindi nella scomposizione in fratti semplici il fattore x viene ripetuto due volte una volta con grado 1 e una volta con grado 2; A B e C si ricavano sempre col principio d'identità dei polinomi
5)D(x) è un trinomio di secondo grado a radici complesse semplici(DELTA<0)
5a)Il numeratore è una costante:
esempio
\( \displaystyle \int{\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{x}+{1}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) siamo nel caso dell'esercizio che ti ho risolto prima infatti \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{x}+{1} \) ha il delta<0 ora o applichi il metodo del completamente del quadrato** come ti ho mostrato in precedenza oppure puoi porre D'(x)=t cioè la derivata del denominatore=t e questa sostituzione ti permette di scrivere(come d'altronde il metodo del completamente del quadrato) in una forma che tira fuori un'arcotangente.
5b)Il numeratore è un polinomio di primo grado
esempio
\( \displaystyle \int{\frac{{{x}-{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) in questo caso si fa in modo da trasformare il numeratore nella derivata del denominatore \( \displaystyle {D}{\left({{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}\right)}={2}{x}-{4} \) affinché il coefficiente della x al numeratore sia due, moltiplichiamo e dividiamo per tale valore:
\( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{2}}}}\int{\frac{{{2}{x}-{2}}}{{{{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}}}}{\left.{d}{x}\right.} \)ora aggiungiamo e togliamo al numeratore 4 e scriviamo la frazione come somma di due frazioni: \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{2}}}}\int{\frac{{{2}{x}-{4}+{4}-{2}}}{{{{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}}}}{\left.{d}{x}\right.}={\frac{{{1}}}{{{2}}}}{\left(\int{\frac{{{2}{x}-{4}}}{{{{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}}}}{\left.{d}{x}\right.}+\int{\frac{{{2}}}{{{{x}}^{{2}}-{4}{x}+{5}}}}{\left.{d}{x}\right.}\right)} \) ora il primo di questi integrali ha al numeratore la derivata del denominatore quindi sarà un logaritmo cioè ricadiamo nel caso 1) mentre il secondo avendo al denominatore un trinomio di secondo grado con il delta<0 si svolge col completamento del quadrato cioè siamo nel caso 5a)
6)D(x) ha radici semplici sia reali che complesse
esempio:
\( \displaystyle \int{\frac{{{2}{{x}}^{{2}}+{7}}}{{{\left({x}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}-{x}+{1}\right)}{\left.{d}{x}\right.}}}} \) ora si procede alla scomposizione in fratti semplici solo che il trinomio di secondo grado ha radici complesse(delta<0) e nella scomposizione al numeratore invece che di una costante presenterà un polinomio di primo grado:
si pone cioé: \( \displaystyle {\frac{{{2}{{x}}^{{2}}+{7}}}{{{\left({x}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}-{x}+{1}\right)}}}}={\frac{{{A}}}{{{x}-{1}}}}+{\frac{{{B}{x}+{C}}}{{{{x}}^{{2}}-{x}+{1}}}} \) e le costanti A, B, e C si determinano sempre col solito principio d'identità dei polinimi
7)D(x) ha radici complesse multiple
esempio:
\( \displaystyle \int{\frac{{{{x}}^{{2}}+{x}}}{{{{\left({{x}}^{{2}}+{4}\right)}}^{{2}}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{4} \) ha radici complesse con moltelplicità due (infatti è eleveto al quadrato) la scomposizione sarà:
\( \displaystyle {\frac{{{{x}}^{{2}}+{x}}}{{{{\left({{x}}^{{2}}+{4}\right)}}^{{2}}}}}={\frac{{{A}{x}+{B}}}{{{{x}}^{{2}}+{4}}}}+{\frac{{{C}{x}+{D}}}{{{{\left({{x}}^{{2}}+{4}\right)}}^{{2}}}}} \) con le costanti da determinarsi al solito modo

Se invece dato \( \displaystyle \int{\frac{{{N}{\left({x}\right)}}}{{{D}{\left({x}\right)}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) il numeratore N(x) è di grado maggiore rispetto al denominatore:
Si esegue la divisione polinomiale o si utilizza la regola di Ruffini e si scrive la frazione come \( \displaystyle {\frac{{{N}{\left({x}\right)}}}{{{D}{\left({x}\right)}}}}={Q}{\left({x}\right)}+{\frac{{{R}{\left({x}\right)}}}{{{D}{\left({x}\right)}}}} \) ricadendo in uno dei caso precendentemente descritti perché, dopo la divisione, di sicuro R(x) sarà di grado inferiore a D(x)


spero di non aver commesso errori!!
Se hai bisogno ancora di aiuto chiedi!!

NOTE
*
Il principio d'identità dei polinomi afferma:due polinomi sono identici se sono uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado.
\( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{1}}}}={\frac{{{A}}}{{{x}-{1}}}}+{\frac{{{B}}}{{{x}+{1}}}} \)fai il minimo comune multiplo \( \displaystyle {\frac{{{A}{\left({x}+{1}\right)}+{B}{\left({x}-{1}\right)}}}{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({x}+{1}\right)}}}}={\frac{{{\left({A}+{B}\right)}{x}+{\left({A}-{B}\right)}}}{{{\left({x}-{1}\right)}{\left({x}+{1}\right)}}}} \) quindi visto che il termine in x manca \( \displaystyle {A}+{B}={0} \) mentre il termine noto vale 1 cioè \( \displaystyle {\left({A}-{B}\right)}={1} \) risolvi il sistema di queste due condizione e ottieni \( \displaystyle {A}={\frac{{{1}}}{{{2}}}} \) e \( \displaystyle {B}=-{\frac{{{1}}}{{{2}}}} \) sostituendo all'inizio \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{1}}}}={\frac{{{\frac{{{1}}}{{{2}}}}}}{{{x}-{1}}}}+{\frac{{-{\frac{{{1}}}{{{2}}}}}}{{{x}+{1}}}} \) questi due fratti semplici sono di facile integrazione! infatti:
\( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{1}}}}{\frac{{{1}}}{{{2}}}}\int{\frac{{{1}}}{{{x}-{1}}}}{\left.{d}{x}\right.}-{\frac{{{1}}}{{{2}}}}\int{\frac{{{1}}}{{{x}+{1}}}}={\frac{{{1}}}{{{2}}}}{\ln}{\left|{x}-{1}\right|}-{\frac{{{1}}}{{{2}}}}{\ln}{\left|{x}+{1}\right|} \)
**
Il metodo del completamento del quadrato
\( \displaystyle {a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c}={a}{\left({{x}}^{{2}}+{\frac{{{b}}}{{{a}}}}+{\frac{{{c}}}{{{a}}}}\right)} \)nella parentesi aggiungo e tolgo il termine \( \displaystyle {\frac{{{{b}}^{{2}}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}} \)
\( \displaystyle {a}{\left({{x}}^{{2}}+{\frac{{{b}}}{{{a}}}}+{\frac{{{{b}}^{{2}}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}}-{\frac{{{{b}}^{{2}}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}}+{\frac{{{c}}}{{{a}}}}\right)}= \)
\( \displaystyle {a}{\left[{{\left({x}+{\frac{{{b}}}{{{2}{a}}}}\right)}}^{{2}}+{\frac{{{4}{a}{c}-{{b}}^{{2}}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}}\right]} \)

[Springer87]

apocalisse86 non ho parole....che possoo dire....ti ringrazio di cuore.....
ciàààààààààààààààààààà