due integrali recchie di porcelli....

[Springer87]

ciao giovani vii posto due integrali che ho incontrato oggi...e che non riesco a fare....

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{6}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.} \) faccio la divisione polinomiale con la calcolatrice e mi viene \( \displaystyle \int{\left({1}\right)}{\left.{d}{x}\right.}+\int{\left(\frac{{3}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}{\left.{d}{x}\right.}\right.} \) ed è proprioo quest'ultimo che non riesco a fare....

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}}{{{{x}}^{{2}}-{3}}}{\left.{d}{x}\right.}\right.} \) con la calcolatrice posso fare la divisione polinomiale, ma a mano sarebbe impossibile per me, che altro metodo si può usare????



ma laa divisione polinomiale a mano come cavolo si fa?????



grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee ciaooooooooooooooooooooooooooooooo

[Martino]

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{6}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.} \) faccio la divisione polinomiale con la calcolatrice e mi viene \( \displaystyle \int{\left({1}\right)}{\left.{d}{x}\right.}+\int{\left(\frac{{3}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}{\left.{d}{x}\right.}\right.} \) ed è èrpèrio quest'ultimo che non riesco a fare....

Quello in mezzo ai due integrali è un meno e non un più.
Scrivi \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}={{\left({x}-\frac{{5}}{{2}}\right)}}^{{2}}+\frac{{11}}{{4}} \), ed ora dovrebbe venirti in mente qualche cosa...

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}}{{{{x}}^{{2}}-{3}}}{\left.{d}{x}\right.}\right.} \) con la calcolatrice posso fare la divisione polinomiale, ma a mano sarebbe impossibile per me, che altro metodo si può usare????

Per esempio puoi scrivere \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}={{x}}^{{2}}-{3}+{\left({3}-\frac{{1}}{{2}}\right)} \) e poi spezzare la frazione. Comunque c'è un bell'algoritmo per fare la divisione polinomiale, credo che su internet tu lo possa trovare.

Ciao ciao!

[Springer87]

Quello in mezzo ai due integrali è un meno e non un più.
Scrivi \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}={{\left({x}-\frac{{5}}{{2}}\right)}}^{{2}}+\frac{{11}}{{4}} \), ed ora dovrebbe venirti in mente qualche cosa...



come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....
ciààààààààààààààààààààààààààà

[Martino]

come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....

Ho completato i quadrati. Clicca qui

[Springer87]

come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....

Ho completato i quadrati. Clicca qui

e poi che faccio????

[Martino]

Sostituisci \( \displaystyle \frac{{2}}{\sqrt{{{11}}}}{\left({x}-\frac{{5}}{{2}}\right)}={t} \).

[zorn]

Dai riguardati un po' di teoria sono facili!

Al numeratore aggiungi e sottrai una opportuna quantità per avere lo stesso denominatore poi spezza...

[Springer87]

ma cosaa devo rivedermi, come sii chiama questa roba????
porca miseria ma è molto difficile, bisogna essere troppo esperti....
datemi qualche consiglioo
ciàààààààààààààààààà

[Apocalisse86]

Se ti può essere d'aiuto ti scrivo tutti i passaggi del primo:

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{6}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.} \)

Si tratta di integrare una funzione razionale fratta.
In questo caso visto che sia il numeratore che il denominatore hanno le stesso grado, cioè 2, si esegue per prima cosa la divisione tra polinomi (ps se non sai come si fa rivedila, non è difficile...anzi), una volta fatta ottieni per quoziente 1 e per resto -3 quindi la frazione di partenza la puoi scrivere così:
\( \displaystyle {1}-{\frac{{{3}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}} \)
questo perchè data una qualsiasi frazione, purchè il grado del dividendo sia maggiore o uguale del divisore, \( \displaystyle {\frac{{{A}{\left({x}\right)}}}{{{B}{\left({x}\right)}}}}={Q}{\left({x}\right)}+{\frac{{{R}{\left({x}\right)}}}{{{B}{\left({x}\right)}}}} \) dove appunto \( \displaystyle {Q}{\left({x}\right)} \) indica il quoziente e \( \displaystyle {R}{\left({x}\right)} \) il resto.
Oppure come ti suggerisce Zorn al numeratore aggiungi e togli 3 poi spezzi e ritrovi la stessa cosa comunque

ora abbiamo: \( \displaystyle \int{1}{\left.{d}{x}\right.}-{3}\int{\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

il primo integrale viene \( \displaystyle \int{1}{\left.{d}{x}\right.}={x} \)

occupiamoci ora del secondo:
\( \displaystyle -{3}\int{\frac{{{1}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}}{\left.{d}{x}\right.} \) se considero il denominatore \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9} \) ha il delta<0 quindi si utilizza il metodo del completamento del quadrato (tutto per riportare l'integrale ad una forma che alla fine tiri fuori un'arcotangente):
dato \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9} \) considero \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \)e \( \displaystyle -{5}{x} \) rispettivamente come il quadrato e il doppio prodotto di un quadrato di binomio mancante solo dell'altro quadrato che sarà \( \displaystyle {\frac{{{25}}}{{{4}}}} \) quantità che aggiungo e tolgo per non far mutare \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9} \) quindi:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{\frac{{{25}}}{{{4}}}}-{\frac{{{25}}}{{{4}}}}+{9}={{\left({x}-{\frac{{{5}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}+{\frac{{{11}}}{{{4}}}} \)( infatti se sviluppi questa quantità ottieni di nuovo \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9} \))scritto in questa forma si ottieni un integrale immediato della forma:
\( \displaystyle \int{\frac{{{1}}}{{{{m}}^{{2}}+{{\left({x}+{k}\right)}}^{{2}}}}}{\left.{d}{x}\right.}={\frac{{{1}}}{{{m}}}}{\arctan{{\frac{{{x}+{k}}}{{{m}}}}}} \)
nel nostro caso \( \displaystyle {{m}}^{{2}}={\frac{{{11}}}{{{4}}}} \) quindi \( \displaystyle {m}={\frac{{\sqrt{{{11}}}}}{{{2}}}} \) mentre \( \displaystyle {k}=-{\frac{{{5}}}{{{2}}}} \) abbiamo quindi:
\( \displaystyle -{3}\int{\frac{{{1}}}{{{{\left({x}-{\frac{{{5}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}+{\frac{{{11}}}{{{4}}}}}}}{\left.{d}{x}\right.}=-{\frac{{{3}}}{{{\frac{{\sqrt{{{11}}}}}{{{2}}}}}}}{\arctan{{\left({\frac{{{\left({x}-{\frac{{{5}}}{{{2}}}}\right)}}}{{{\frac{{\sqrt{{{11}}}}}{{{2}}}}}}}\right)}}} \) eseguendo le operazione e razionalizzando si ottiene il risutato finale:

\( \displaystyle \int{\left(\frac{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{6}}}{{{{x}}^{{2}}-{5}{x}+{9}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={x}-{\frac{{{6}\sqrt{{{11}}}}}{{{11}}}}{\arctan{{\left({\frac{{\sqrt{{{11}}}{\left({2}{x}-{5}\right)}}}{{{11}}}}\right)}}}+{C} \)

[Springer87]

splendida spiegazione apocalisse86, l'unica cosaa è il fatto che devii ricordare tutti gli integrali fondamentali a memoria....per lee divisioni fratte usoo la calcolatrice, ma quando mi esce un solo numero al numeratore e più di uno al denominatore sotto iniziano i problemi....
\( \displaystyle \int\frac{{1}}{{{x}+{1}}} \) cosìì daa avere un \( \displaystyle {\ln{{x}}}+{1} \)

\( \displaystyle \int\frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}-{x}+{3}}} \) allorano iniziano i problemi....quando cii sono due o tre sottooo



ciààààààààààààààààààààààààààààààààààà