E' Fermat?

[steven.M]

Ragazzi, ho bisogno che mi troviate una soluzione per questa equazione a soli numeri interi:

\( \displaystyle {{x}}^{{m}}+{{y}}^{{m}}={n} \) con n numero primo
m>2, n>2

[adaBTTLS]

se fosse Fermat, non ci sarebbero soluzioni.
immagino che debbano essere \( \displaystyle {x},{y}\gt{1} \) interi, ma \( \displaystyle {m},{n} \) fissati ...
\( \displaystyle {m}={4},{n}={97} \) ha come soluzione \( \displaystyle {x}={2},{y}={3} \) o viceversa:

\( \displaystyle {{2}}^{{4}}+{{3}}^{{4}}={16}+{81}={97} \)

[steven.M]

Grazie.
Vorrei che provassi anche per esponenti dispari a cominciare da m=3.

[adaBTTLS]

se valgono le premesse che ho fatto in precedenza, ti posso dimostrare che non esistono.

[steven.M]

Mi sono venute in mente un paio di formule che ho scritte su un libro. Se non sbaglio l'unico modo in cui il risultato può essere primo è che \( \displaystyle {m}={{2}}^{{n}} \).
Ho lanciato questa discussione perché avevo provato molti tentativi con \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{{y}}^{{3}} \) e mi venivano tutti numeri composti. Pensavo forse che la cosa potesse anche essere collegata col "grande" teorema di Fermat. Grazie cmq per l'interessamento e la condivisione

[adaBTTLS]

prego.
per numeri dispari non è necessario far scomodare teoremi altisonanti. basta ricordare che (come si studia quando si fanno le scomposizioni di polinomi)
la somma di due potenze di ugual esponente dispari è divisibile per la somma delle basi.

[steven.M]

Esattamente. Mi è venuto in mente dopo.