Eguaglianza fattoriali - SNS 1985

[elios]

"L'eguaglianza \( \displaystyle {p}!+{q}!+{r}!={s}! \) è soddisfatta per \( \displaystyle {p}={q}={r}={2} \) e \( \displaystyle {s}={3} \). Dire se esistono altri numeri interi positivi per cui tale eguaglianza è vera."

La mia risposta è che non ci sono altri numeri interi che soddisfano l'eguaglianza e ho cercato di dimostrarlo.
Ponendo che \( \displaystyle {p} \) sia il minore dei 4 numeri posso scrivere ciascuno degli altri numeri in questo modo:
\( \displaystyle {q}!={q}\cdot{\left({q}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}\cdot{p}\cdot{\left({p}-{1}\right)}\ldots{3}\cdot{2}\cdot{1}={q}\cdot{\left({q}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}\cdot{p}! \)
E l'uguaglianza diviene
\( \displaystyle {p}!+{q}{\left({q}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}\cdot{p}!+{r}{\left({r}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}\cdot{p}!={s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}\cdot{p}! \)
\( \displaystyle {s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}={1}+{q}{\left({q}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}+{r}{\left({r}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)} \)
\( \displaystyle {1}={\left({p}+{1}\right)}{\left[{s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots-{q}{\left({q}-{1}\right)}\ldots-{r}{\left({r}-{1}\right)}\ldots\right]} \)
dove \( \displaystyle {\left({p}+{1}\right)} \) non è necessariamente \( \displaystyle {p}+{1} \) ma rappresenta il massimo fattore comune fra \( \displaystyle {q} \), \( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {s} \) dopo che sono stati divisi per \( \displaystyle {p}! \).
E' evidente che quella moltiplicazione non possa mai fare 1, se il massimo fattore comune è maggiore di 1, dato che la seconda parentesi non potrà mai essere un numero compreso fra 0 e 1.
Conseguentemente il massimo fattore comune fra \( \displaystyle {p} \),\( \displaystyle {q} \),\( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {s} \) è \( \displaystyle {p} \), cioè c'è solo un intero fra questi quattro (ed è \( \displaystyle {s} \) poiché è il maggiore) che ha dei fattori oltre \( \displaystyle {p}! \), cioè \( \displaystyle {p}={q}={r} \).
L'eguaglianza si riduce a
\( \displaystyle {p}!+{p}!+{p}!={s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}{p}! \)
\( \displaystyle {1}+{1}+{1}={s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)} \)
\( \displaystyle {s}{\left({s}-{1}\right)}\ldots{\left({p}+{1}\right)}={3} \)
Una serie di fattori può fare 3 solo se c'è un solo fattore, che è appunto 3, cioè \( \displaystyle {s}={p}+{1}={3} \). Da cui \( \displaystyle {p}={2} \).

Spero che il mio discorso sia abbastanza chiaro. E' corretto?
Grazie dell'aiuto.

[Steven]

Ciao!
Ok, hai colto l'idea, il problema si risolve così.

Qualche appunto:

dove \( \displaystyle {\left({p}+{1}\right)} \) non è necessariamente \( \displaystyle {p}+{1} \) ma rappresenta il massimo fattore comune fra \( \displaystyle {q} \), \( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {s} \) dopo che sono stati divisi per \( \displaystyle {p}! \).

Perché dici che è il massimo?
A priori (cioè prima delle considerazioni che seguono) anche \( \displaystyle p+2 \) potrebbe essere un fattore comune.
Forse volevi dire minimo?

Ad ogni modo ti scrivo come avrei concluso io.
Arrivato a

\( \displaystyle 1+q(q-1)\cdot...(p+1)+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \)

si ha che \( \displaystyle p+1 \) divide il secondo membro e due addendi del primo, da cui facilmente \( \displaystyle 1|(p+1) \) e questo sarebbe possibile solo se \( \displaystyle p=0 \) , ma il testo parla di numeri positivi.

Quindi dobbiamo concludere che \( \displaystyle p+1 \) non divide nemmeno uno di quei due addendi, cioè dopo aver diviso ad esempio \( \displaystyle q! \) per \( \displaystyle p! \) non avanza nulla, cioè \( \displaystyle p=q \) .
A questo punto si avrebbe

$ \( \displaystyle 2+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \) ma ragionando come prima (*) si ha appunto
\( \displaystyle p=q=r \) e si conclude.

(*)
Sto tralasciando il caso \( \displaystyle p=2 \) perché stiamo cercando altre quaterne, diverse da quella nota.

[elios]

Grazie Steve, ho capito. Diciamo che volevo dire all'incirca ciò che tu hai detto per bene! Ad esempio, intendevo il minore fattore comune.. Grazie ancora!