Elementi finiti in dimensione 2

[pinca]

Devo applicare il metodo degli elementi finiti per risolvere un'equazione in 2d, ma non sono sicura della scelta della base..
Allora..
Supponiamo di avere la formulazione variazionale \( \displaystyle {a}{\left({u},{v}\right)}={F}{\left({v}\right)} \) con \( \displaystyle {u},{v}\in{V}={{\left({{H}}^{{1}}_{0}{\left(\Omega\right)}\right)}}^{{2}} \).
La consegna del mio problema dice di prendere \( \displaystyle {\mathbb{{{P}}}}_{{2}} \) per \( \displaystyle {V}_{{h}} \).
Se le 6 funzioni di base di \( \displaystyle {\mathbb{{{P}}}}_{{2}} \) sono \( \displaystyle {\left\lbrace\varphi_{{i}}\right\rbrace}_{{{i}={1}\cdots{6}}} \), una base di \( \displaystyle {V}_{{h}}\in{{\left({{H}}^{{1}}_{0}{\left(\Omega\right)}\right)}}^{{2}} \) è:
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left[{\left.\matrix{\varphi_{{i}}\\{0}}\right.}\right]}\right\rbrace}_{{{i}={1}\cdots{6}}}\cup\ \ {\left\lbrace{\left[{\left.\matrix{{0}\\\varphi_{{i}}}\right.}\right]}\right\rbrace}_{{{i}={1}\cdots{6}}} \)?
In modo che scrivo
\( \displaystyle {u}={\sum_{{{i}={1}}}^{{6}}}{{u}_{{i}}^{{{\left({1}\right)}}}}\ {\left[{\left.\matrix{\varphi_{{i}}\\{0}}\right.}\right]}\ +\ {\sum_{{{i}={1}}}^{{6}}}{{u}_{{i}}^{{{\left({2}\right)}}}}\ {\left[{\left.\matrix{{0}\\\varphi_{{i}}}\right.}\right]} \)?
E' giusto fin qui?
Che funzione scelgo per \( \displaystyle {v} \)? Perché l'ho sempre fatto in dimensione 1 e quindi bastava scegliere \( \displaystyle {v}=\varphi_{{j}} \), ma qui non mi è chiaro come devo fare, a me verrebbe da scegliere \( \displaystyle {v}={\left[{\left.\matrix{\varphi_{{j}}\\\varphi_{{k}}}\right.}\right]} \) però poi come faccio a scrivere il problema in forma matriciale?

Riuscite ad illuminarmi per favore?
Grazie