Elementi invertibili e regolari

[Taniab]

Salve, come potrei dimostrare la seconda parte di questo esercizio?
"Dato \( \displaystyle {a}\in{Z} \), non divisibile per \( \displaystyle {n} \), dimostrare che : \( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}} \) è invertibile in \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) se e solo se \( \displaystyle {a} \) a è un elemento regolare di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \)".
Sono riuscita a dimostrare che se \( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}} \) è invertibile allora è regolare, ma mi serve qualche idea per l'implicazione inversa!
Grazie in anticipo!

[GundamRX91]

Cosa intendi per elemento regolare di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \)?

[perplesso]

Cosa intendi per elemento regolare di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \)?

Cancellabile a destra e a sinistra

Sono riuscita a dimostrare che se \( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}} \) è invertibile allora è regolare, ma mi serve qualche idea per l'implicazione inversa!

Secondo me non è una cosa così scontata. Potresti usare questa proposizione ( se ti interessa ti scrivo la dimostrazione )

Sia \( \displaystyle {S} \) un semigruppo finito e sia \( \displaystyle {a} \) un elemento regolare di \( \displaystyle {S} \) Allora \( \displaystyle {S} \) è dotato di elemento neutro e l'elemento \( \displaystyle {a} \) è simmetrizzabile.

Ora devi solo notare che \( \displaystyle {\left({Z}_{{n}}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) è un semigruppo finito.

[Taniab]

Cosa intendi per elemento regolare di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \)?

Cancellabile a destra e a sinistra

Sono riuscita a dimostrare che se \( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}} \) è invertibile allora è regolare, ma mi serve qualche idea per l'implicazione inversa!

Secondo me non è una cosa così scontata. Potresti usare questa proposizione ( se ti interessa ti scrivo la dimostrazione )

Sia \( \displaystyle {S} \) un semigruppo finito e sia \( \displaystyle {a} \) un elemento regolare di \( \displaystyle {S} \) Allora \( \displaystyle {S} \) è dotato di elemento neutro e l'elemento \( \displaystyle {a} \) è simmetrizzabile.

Ora devi solo notare che \( \displaystyle {\left({Z}_{{n}}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) è un semigruppo finito.

Non abbiamo parlato di semigruppo durante il corso purtroppo!

[GundamRX91]

Un semigruppo è un gruppo che soddisfa la sola proprietà associativa.

[perplesso]

Detto un pò meglio, un semigruppo è una struttura algebrica dotata di un'operazione interna associativa. In particolare i gruppi sono semigruppi, ma i semigruppi non sono necessariamente gruppi. Un semigruppo si dice unitario se è dotato di elemento neutro. In notazione moltiplicativa il simmetrico (se esiste) di un elemento si chiama "inverso", in notazione additiva si chiama "opposto"

[Taniab]

Detto un pò meglio, un semigruppo è una struttura algebrica dotata di un'operazione interna associativa. In particolare i gruppi sono semigruppi, ma i semigruppi non sono necessariamente gruppi. Un semigruppo si dice unitario se è dotato di elemento neutro. In notazione moltiplicativa il simmetrico (se esiste) di un elemento si chiama "inverso", in notazione additiva si chiama "opposto"

Poichè non abbiamo trattato l'argomento "semigruppo" io ho provato a dimostrarlo indirettamente, ovvero ho dimostrato che se \( \displaystyle {a} \) non è invertibile \( \displaystyle {a} \) non è regolare.
Ho eliminato il caso in cui \( \displaystyle {n} \) è primo oppure \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {n} \) sono coprimi perchè in quel caso se \( \displaystyle {a} \) è diverso da \( \displaystyle {0} \) , è sempre invertibile.Quindi se \( \displaystyle {a} \) non è invertibile ha un fattore comune con \( \displaystyle {n} \).
Ho considerato \( \displaystyle {n} \) non primo , quindi non irriducibile e ho posto \( \displaystyle {d}={M}.{C}.{D}.{\left({a},{n}\right)} \).Quindi \( \displaystyle {a}={a}'{d} \) e \( \displaystyle {n}={n}'{d} \). Poichè \( \displaystyle {n} \) è non irriducibile ed è positivo, possiamo supporre \( \displaystyle {n}',{d} \) entrambi non invertibili e quindi \( \displaystyle \gt{1} \).
\( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}}={\left[{a}'{d}\right]}_{{n}} \)
\( \displaystyle {\left[{a}{n}'\right]}_{{n}}={\left[{a}'{d}{n}'\right]}_{{n}} \), con \( \displaystyle {\left[{d}{n}'\right]}_{{n}}={0} \)
\( \displaystyle {\left[{a}{n}'\right]}_{{n}}={\left[{0}\right]}_{{n}} \). Quindi ho che il prodotto di due elementi diversi da 0 mi dà 0 e quindi \( \displaystyle {a} \) non è regolare!
Va bene così?