elementi puramente inseparabili in una estensione di campi

[ficus2002]

Si consideri l'estensione di campi $K|F$ dove $K=\mathbb Z_p(x,y)$ e $F=\mathbb Z_p(x^p-x,y^p-x)$ con $x,y$ indeterminate su $\mathbb Z_p$.
Mostrare che:
1) $[K:F]=p^2$;
2) $K|F$ non è separabile;
3) l'insieme degli elementi puramente inseparabili in $K|F$ è $F$.

Per i punti 1) e 2): Ok.
Nel punto 3) qualcosa non (mi) torna:
L'elemento $x-y\in K$ è radice del polinomio $f(t)=t^p-(x^p-x)+(y^p-x)\in F[t]$, dunque $x-y$ è puramente inseparabile su $F$.
D'altra parte, $x-y\notin F$: in caso contrario $y^p-y\in F$, quindi $K|F$ sarebbe separabile in quanto

i) $y$ sarebbe separabile su $F$ perché radice del polinomio $g(t)=t^p-t-(y^p-y)\in F[t]$ che in $K[t]$ si fattorizza $g(t)=(t-y)(t-y+1)\cdots (t-y+p-1)$

ii) $K=F[y]$;

per di più si avrebbe $[K:F]\leq \text{deg } g=p$ contro il punto 1).

[Martino]

Non riesco a trovare errori nei tuoi argomenti. Chi ti ha proposto questo esercizio?

[ficus2002]

L'ho preso da Jacobson - Lectures in Abstract Algebra Vol. III pag. 49.

[ficus2002]

1) $[K:F]=p^2$;

Già che ci sono, aggiungo due parole su come ho provato a dimostrare il punto 1); ci sono un paio di passaggi delicati che penso sia una buona idea condividere.

La prima questione che mi sono posto è l'indipendenza algebrica di $x^p-x$ e $y^p-x$ su $\mathbb Z_p$.
In particolare, posto $L=\mathbb Z_p(y^p-x)$ ho provato che ogni elemento di $Z_p[x]$ è trascendente su $L$; in particolare, lo sono $x^p-x$ e $x$.
Tralascio i dettagli della dimostrazione; l'idea, comunque, consiste nel provare che se $x^p-x$ e $y^p-x$ annullano un polinomio non costante in $\mathbb Z_p$, allora $x$ e $y$ annullano un polinomio non costante in $\mathbb Z_p$.

A questo punto ho provato che $[F(x):F]=p$.
L'elemento $x$ è radice del polinomio $f(t)=t^p-t-(x^p-x)\in F[t]$; si tratta di provare che $f$ è irriducibile in $F[t]$.
Per il Teorema di Gauss, è sufficiente provare che $f$ è irriducibile in $L[x^p-x][t]$, dal momento che $F$ è il campo dei quozienti di $L[x^p-x]$.
Sia dunque $h$ un fattore di $f$ in $L[x^p-x]$; $h$ divide $f$ anche in $K[t]$ dove $f$ si fattorizza in $(t-x)(t-x+1)\cdots (t-x+p-1)$.
Dunque, si ha $h(t)=a\prod_{k\in S}(t-x+k)$ dove $a\in L[x^p-x]$ e $S\subseteq \{0,1,\ldots,p-1\}$.

In particolare, $h(0)$ divide $f(0)=x^p-x$ in $L[x^p-x]$; dato che $x^p-x$ è trascendente su $L$, è ivi irriducibile, quindi $h(0)=b$ o $h(0)=bf(0)$ per qualche $b\in L$.
D'altra parte, $h(0)=\pm a\prod_{k\in S}(x-k)$, dunque si ha
$h(0)=\pm a\prod_{k\in S}(x-k)=b$ in $L[x]$
aut
$h(0)=\pm a\prod_{k\in S}(x-k)=bf(0)$ in $L[x]$.

Dopo aver osservato che $p|\text{deg}_x a$, si ottiene $p|\text{deg}_x \prod_{k\in S}(x-k)=#S$ da cui, necessariamente, $S=\emptyset$ o $S={0,1,\ldots, p-1\}$.
Nel primo caso $h(t)=a$, mentre nel secondo $h(t)=af(t)$ per qualche $a\in L$.
Dunque $h$ è un fattore improprio di $f$ in $L[x^p-x]$.

Mi risulta strano il fatto di lavorare in $L[x]$ (inteso come anello di polinomi a coefficienti in $L$ nell'indeterminata $x$), pur sapendo che in $L$ (il campo dei coefficienti) già compare $x$ (essendo $L=\mathbb Z_p(y^p-x)$), anche al denominatore, tra l'altro.
Certo è vero che ogni $x$ in $L$ è 'accompagnata' da una $y^p$, fatto, questo, che garantisce quindi la trascendenza di $x$ su $L$.

In particolare, è rilevante il fatto che ogni elemento di $L[x^p-x]$, visto come polinomio in $L[x]$, ha grado, rispetto a $x$ multiplo di $p$; grado rispetto a $x$ (che ho indicato con $\text{deg}_x$) tenendo conto che in $L$ possono già comparire delle $x$. Per esempio, il polinomio
$(y^p-x)x$, visto come elemento di $L[x]$ che grado ha rispetto a $x$?
Io direi 1, ma se si riscrive il polinomio come $-x^2+y^px$ si potrebbe pensare che il grado (sempre rispetto a $x$) sia 2; la gabola sta nel fatto che $y^p\notin L$, dunque $-x^2+y^px$ (scritto in questo modo), non è elemento di $L[x]$.