Elettrotecnica: Trasformata di Laplace - lim dx/sx di 0.

[Andrea990]

Salve a tutti...
Sono alle prese con la trasformata di Laplace - materia elettrotecnica^^-... e non riesco a capire bene come mai sul mio libro di riferimento viene riportata questa proprietà:

Proprietà della derivata

\( \displaystyle {L}{\left[\frac{{{d}{f{{\left({t}\right)}}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}\right]}={s}{F}{\left({s}\right)}-{f{{\left({{0}}^{{-}}\right)}}} \)

Non viene spiegato il perché debba essere 0^-

Su una dispensa scritta (ahimé^^) da un matematico quello 0^- è uno 0^+

Vi mando il link: (pag 13 del documento che seguendo l'impaginazione messa dal prof è pag 116)
http://calvino.polito.it/~tilli/dida/laplace.pdf

Secondo il mio ragionamento mi allineerei al link che vi ho mandato, perché la f(t) è una funzione continua a tratti sul semiasse positivo del tempo...

Sapete darmi qualche dritta?!

Grazie Mille,
Andrea

[Benny]

Ti riporto quanto scritto in un appendice di Fondamenti di controlli automatici di Bolzern, Scattolini e Schiavoni.

Si supponga che la funzione \( \displaystyle {f{{\left({t}\right)}}} \) sia derivabile, nel senso delle funzioni generalizzate, per tutti i \( \displaystyle {t}\ge{0} \), o almeno dotata di derivate sinistra (per t>0) e destra. Risulta allora \( \displaystyle {L}{\left[{f{'}}{\left({t}\right)}\right]}={s}{F}{\left({s}\right)}-{f{{\left({0}\right)}}} \). Se la \( \displaystyle {f} \) è discontinua di prima specie in \( \displaystyle {t}={0} \), allora \( \displaystyle {f{'}} \) contiene un impulso applicato al tempo 0 e \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}} \) si deve interpretare come \( \displaystyle {f{{\left({{0}}^{{-}}\right)}}} \). Si può dimostrare che, quando \( \displaystyle {F}{\left({s}\right)} \) è razionale con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, la derivata \( \displaystyle {f{'}} \) esiste ed è una funzione trasformabile definita in senso classico sommata eventualmente a un impulso di Dirac.

Come esempio ti pongo: \( \displaystyle {h}{\left({t}\right)}={1} \) per \( \displaystyle {t}\ge{0} \), \( \displaystyle {0} \) altrove.
Dunque \( \displaystyle {L}{\left[\frac{{{d}{h}{\left({t}\right)}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\right]}={L}{\left[\delta{\left({t}\right)}\right]}={s}{H}{\left({s}\right)}-{h}{\left({0}\right)}={1}-{h}{\left({0}\right)} \). Ora \( \displaystyle {h}{\left({{0}}^{+}\right)}={1} \), mentre \( \displaystyle {h}{\left({{0}}^{{-}}\right)}={0} \), quindi deve essere per forza la seconda possibilità.

[Andrea990]

Ottimo... Grazie mille Benny... Mi ero ingarbugliato in una sciocchezza... Grazie per l'esempio chiarificatore... ^^

[Benny]

Prego!