endomorfismo

[caronte559]

Ciao a tutti,
Non riesco a capire cosa chiede il seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) si considerino i vettori
\( \displaystyle {x}_{{1}}\:={\left({2},{1},{0}\right)} \),
\( \displaystyle {x}_{{2}}\:={\left({0},{0},{1}\right)} \),
\( \displaystyle {x}_{{3}}\:={\left(-{2},-{1},{3}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{1}}\:={\left({4},{2},{1}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{2}}={\left({12},{6},{3}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{3}}={\left({1},{1},{1}\right)} \)

Nessun problema per il primo punto, invece il secondo chiede questo:
II) Posto \( \displaystyle {X}\:={l}\in{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}}\right)} \) dire perche' esiste un'unica applicazione lineare
\( \displaystyle {f{:}}{X}\to{{R}}^{{3}} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}={y}_{{1}} \) e \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{2}}\right)}}}={y}_{{2}} \), verificare che \( \displaystyle {f} \) e' un endomorfismo.
Scegliere una base \( \displaystyle {B} \) di \( \displaystyle {X} \) e scrivere \( \displaystyle {M}_{{{B}}}{\left({f}\right)} \)

E' corretto dire che \( \displaystyle {f} \) e' l'unica applicazione lineare \( \displaystyle {X}\to{{R}}^{{3}} \) perche' \( \displaystyle {x}_{{1}} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}} \) sono linearmente indipendenti?

Poi supponiamo di prendere come base \( \displaystyle {B} \) quella canonica di \( \displaystyle {X} \)
\( \displaystyle {B}={\left({1},{0}\right)},{\left({0},{1}\right)} \)
a questo punto mi calcolo \( \displaystyle {M}_{{{E}}}{\left({f}\right)} \) che e' la matrice associata ad \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base canonica di \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \). \\
E' giusto poi trovare una matrice \( \displaystyle {M}_{{{B}{C}}} \) (3 x 2) che mi manda \( \displaystyle {M}_{{{E}}}{\left({f}\right)}\to{M}_{{{B}}}{\left({f}\right)} \)?
In questo modo sarebbe:
\( \displaystyle {M}_{{{b}}}{\left({f}\right)}=\le{f{{t}}}{\left({M}_{{{B}{C}}}{M}_{{{E}}}{\left({f}\right)}{r}{i}{g{{h}}}{t}\right)} \)

Il fatto di avere un endomorfismo espresso in \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) e doverlo portare in \( \displaystyle {{R}}^{{2}} \) mi sta mettendo in seria difficolta'.

[franced]

Ciao a tutti,
Non riesco a capire cosa chiede il seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) si considerino i vettori
\( \displaystyle {x}_{{1}}\:={\left({2},{1},{0}\right)} \),
\( \displaystyle {x}_{{2}}\:={\left({0},{0},{1}\right)} \),
\( \displaystyle {x}_{{3}}\:={\left(-{2},-{1},{3}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{1}}\:={\left({4},{2},{1}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{2}}={\left({12},{6},{3}\right)} \),
\( \displaystyle {y}_{{3}}={\left({1},{1},{1}\right)} \)

Nessun problema per il primo punto, invece il secondo chiede questo:
II) Posto \( \displaystyle {X}\:={l}\in{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}}\right)} \) dire perche' esiste un'unica applicazione lineare
\( \displaystyle {f{:}}{X}\to{{R}}^{{3}} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}={y}_{{1}} \) e \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{2}}\right)}}}={y}_{{2}} \), verificare che \( \displaystyle {f} \) e' un endomorfismo.
Scegliere una base \( \displaystyle {B} \) di \( \displaystyle {X} \) e scrivere \( \displaystyle {M}_{{{B}}}{\left({f}\right)} \)

Vediamo l'immagine di \( \displaystyle {x}_{{1}} \):

\( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}={\left({4},{2},{1}\right)}={2}\cdot{\left({2},{1},{0}\right)}+{\left({0},{0},{1}\right)}={2}\cdot{x}_{{1}}+{1}\cdot{x}_{{2}} \)

vediamo l'immagine di \( \displaystyle {x}_{{2}} \):

\( \displaystyle {f{{\left({x}_{{2}}\right)}}}={\left({12},{6},{3}\right)}={6}\cdot{\left({2},{1},{0}\right)}+{3}\cdot{\left({0},{0},{1}\right)}={6}\cdot{x}_{{1}}+{3}\cdot{x}_{{2}} \)

Se scelgo \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{x}_{{1}};{x}_{{2}}\right\rbrace} \), la matrice associata è, perciò, la seguente:

\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}&{6}\\{1}&{3}}\right)} \) .

[caronte559]

Ok grazie,
Era una stupidagine ed ho fatto un ragionamento veramente contorto.
Mi sono fossilizzato sul dover prendere una base che fosse diversa da \( \displaystyle {x}_{{1}} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}} \).

[franced]

Prego.

Tieni conto che spesso gli esercizi sono fatti "ad hoc"...