Energia totale di un sistema e integrale primo

[koichirose]

Ciao a tutti, non capisco bene il concetto di integrale primo e come questo è correlato con l'energia di un sistema.
Ad esempio (prendo spunto da alcuni esercizi svolti del corso di equazioni differenziali):
Sia dato il seguente sistema conservativo a un grado di libertà:
\( \displaystyle {x}{''}=-{5}{{x}}^{{4}}+{8}{{x}}^{{3}}-{3}{{x}}^{{2}} \)

Questo si traduce nel sistema
\( \displaystyle {x}'={y} \) (la chiamo f)
\( \displaystyle {y}'=-{5}{{x}}^{{4}}+{8}{{x}}^{{3}}-{3}{{x}}^{{2}} \) (la chiamo g)

L'energia totale del sistema è dunque l'integrale di x' - l'integrale di y', ovvero:
\( \displaystyle \frac{{{{y}}^{{2}}}}{{2}}+{{x}}^{{5}}-{2}{{x}}^{{4}}+{{x}}^{{3}} \)

La soluzione dice poi:
"Poichè l’energia totale E(x,y) è un integrale primo per il sistema, sappiamo che le linee di livello sono unioni di orbite e che ogni orbita si trova su una linea di livello dell’energia."

L'integrale primo si trova facendo \( \displaystyle \frac{{\left.{d}{y}\right.}}{{\left.{d}{x}\right.}}=\frac{{f}}{{g}} \) , la quale una volta integrata e portata al primo membro dà proprio l'energia totale.
Ma allora l'integrale primo è esattamente l'energia totale per qualsiasi sistema conservativo? Quando non lo è?

Grazie

[koichirose]

Nessuno mi sa aiutare? :/