eq. log...ci sono quasi...

[homer]

Ciao, vi tedio con l'ennesima equazione logaritmica, sto cercando di farne il più possibile per prenderci la mano, ma non tutte sono immediate e il vostro aiuto è fondamentale, e per questo vi ringrazio!

Ho provato a fare questa
\( \displaystyle {{3}}^{{{\log{{x}}}}}+{100}{{x}}^{{-{\log{{x}}}}}={40} \)
e vorrei sapere se il ragionamento che ho svolto è corretto, perchè non riesco ad arrivare ai risultati,che sono \( \displaystyle {10} \), \( \displaystyle \frac{{1}}{{10}} \), \( \displaystyle {{10}}^{{\sqrt{{{1}-{\log{{3}}}}}\right.}} \) ma non so se sto sbagliandomi.

l'equazione la posso scrivere: \( \displaystyle {{3}}^{{{\log{{x}}}}}+\frac{{100}}{{{{x}}^{{{\log{{x}}}}}}}={40} \)

ora pongo il parametro \( \displaystyle {t}={{x}}^{{{\log{{x}}}}} \)

l'equazione risulta \( \displaystyle {3}{{t}}^{{2}}-{40}{t}+{100}={0} \) i cui risultati sono \( \displaystyle {x}={10} \) e \( \displaystyle \frac{{10}}{{3}} \).
ok, ora pongo
\( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{x}}}}}={10} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{x}}}}}=\frac{{10}}{{3}} \)

ora le trasformo in forma logaritmica
\( \displaystyle {{\log{{x}}}}^{{{\log{{x}}}}}={\log{{10}}} \) \( \displaystyle {{\log{{x}}}}^{{2}}={\log{{10}}} \)
\( \displaystyle {{\log{{x}}}}^{{{\log{{x}}}}}={\log{{\left(\frac{{10}}{{3}}\right)}}} \) \( \displaystyle {{\log{{x}}}}^{{2}}={\log{{\left(\frac{{10}}{{3}}\right)}}} \)

fino a qui è giusta?
grazie
ciao

[Ene@]

Se poni \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={t} \) allora \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}\cdot{{3}}^{{\log{{x}}}}={3}{{x}}^{{\log{{x}}}}={3}{t} \)

[Tipper]

Se poni \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={t} \) allora \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}\cdot{{3}}^{{\log{{x}}}}={3}{{x}}^{{\log{{x}}}}={3}{t} \)

Occhio che \( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}\cdot{{3}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}={{\left({3}{x}\right)}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}\ne{3}{{x}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}} \)

[Ene@]

Se poni \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={t} \) allora \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}\cdot{{3}}^{{\log{{x}}}}={3}{{x}}^{{\log{{x}}}}={3}{t} \)

Occhio che \( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}\cdot{{3}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}={{\left({3}{x}\right)}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}}\ne{3}{{x}}^{{{\log{{\left({x}\right)}}}}} \)

Giusto.Ma secondo te si può risolvere analiticamente tale disequazione?Secondo me occorre utilizzare il metodo grafico.

[Tipper]

Almeno a occhio, la vedo dura trovare soluzioni in forma chiusa...

[Ene@]

L'unica via è disegnare i grafici delle due funzioni \( \displaystyle {y}={{3}}^{{{\log{{x}}}}} \) e \( \displaystyle {y}={40}-{100}{{x}}^{{-{{\log{{x}}}}}} \) e vedere dove si intersecano

[homer]

Almeno a occhio, la vedo dura trovare soluzioni in forma chiusa...

quindi l'unico metodo per risolvere tale equazione secondo voi sarebbe come dice Aeneas, facendolo in modo grafico e vedendo dove si intersecano?

Poi, ho svolto correttamente fin dove sono arrivato?

Grazie
Ciao

[homer]

Ragazzi sono proprio suonato, mi sono accorto che c'era una x in meno, ho fatto un errore di trascrizione

\( \displaystyle {3}{{x}}^{{{\log{{x}}}}}+{100}{{x}}^{{-{\log{{x}}}}}={40} \)

\( \displaystyle {3}{{x}}^{{{\log{{x}}}}}+\frac{{100}}{{{{x}}^{{{\log{{x}}}}}}}={40} \)

il parametro è ancora \( \displaystyle {t}={{x}}^{{{\log{{x}}}}} \)

e sostituendo resta uguale a come ho scritto prima \( \displaystyle {3}{{t}}^{{2}}-{40}{t}+{100}={0} \)
con le stesse soluzioni dell equazione di secondo grado
\( \displaystyle {x}={10} \) e \( \displaystyle \frac{{10}}{{3}} \)
scusate ancora

[Ene@]

\( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={10}\Rightarrow{{x}}^{{\log{{x}}}}={{x}}^{{{\log}_{{x}}{10}}}\Rightarrow{\log{{x}}}={\log}_{{x}}{10} \) essendo \( \displaystyle {x}\gt{0} \)
Analogamente dovrai risolvere

\( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={{x}}^{{{\log}_{{x}}\frac{{10}}{{3}}}},{x}\gt{0} \)

[Ene@]

Ci sei?applica la formula di passaggio alla base \( \displaystyle {x} \)...