Equazione a tre incognite

[davi24]

Trovare tutte le soluzioni intere all'equazione
x^2+y^2+z^2=2xyz...

Se x=y=z, l'unica soluzione è x=y=z=0...

Se x=y e y diverso da z, si dimostra facilmente che non esistono soluzioni...

2x^2+z^2=2x^2z
z^2=2x^2(z-1)
z-1 non divide z tranne che per z=2, ma allora x=radice di 2, non intero.

Ora, ci possono anche essere errori nella parte precedente (non l'ho neppure riletta), ma il mio problema è: quali sono (se esistono) le soluzioni con x diverso da y diverso da z?

Grazie!

[Rael]

ciao , ho provato a vedere che succede con l'equazione, ma a quanto pare (almeno per ora) viene fuori un equazione diofantea abbastanza brutta, e probabilmente non ha neanche soluzioni non triviali. Cmq mi ci sto mettendo in questio giorni vediamo se riesco a tirare fuori qualcosa, cmq è un probl interessante , vale la pena perderci n po' di tempo!

[JvloIvk]

Tutte le terne che verificano l'equazione sono:
(x,y,xy+ -sqrt(x^2y^2-x^2-y^2))
Affinchè l'equazione abbia soluzioni intere il polinomio dentro radice deve essere un quadrato perfetto ovvero deve avere discriminante nullo.
x^2(x^2-1)=0->x=0,1,-1
Per x=0 si ha y^2+z^2=0 e quindi x=y=z=0
per x=1,-1 (y-z)^2=-1 impossibile
Per simmetria l'unica terna che risolve il problema è (0,0,0)
Pare ke questa soluzione funzioni anke se non ho controllato x bene.