equazione cartesiana di un cilindro

[dariuccio_1988]

Salve a tutti i membri , volevo chiedere se mi potevate aiutare a capire come procedere nello svolgimento di questo quesito :

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Ringrazio tutti anticipatamente

[franced]

Salve a tutti i membri , volevo chiedere se mi potevate aiutare a capire come procedere nello svolgimento di questo quesito :

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Ringrazio tutti anticipatamente

Guarda qui:

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _daddi.pdf

esercizio 5

[dariuccio_1988]

Salve a tutti i membri , volevo chiedere se mi potevate aiutare a capire come procedere nello svolgimento di questo quesito :

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Ringrazio tutti anticipatamente

Guarda qui:

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _daddi.pdf

esercizio 5

però li si aveva una curva qui non ho nulla a parte la retta

[franced]

Salve a tutti i membri , volevo chiedere se mi potevate aiutare a capire come procedere nello svolgimento di questo quesito :

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Ringrazio tutti anticipatamente

Guarda qui:

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _daddi.pdf

esercizio 5

però li si aveva una curva qui non ho nulla a parte la retta

Scusa ma tu hai una conica, l'unica cosa che devi fare è ricavarti il vettore direttore della tua retta.

[dariuccio_1988]

ma quel sistema che c'è in quell'esercizio ke mi hai fatto vedere da dove deriva?

[franced]

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Allora il (un) vettore direttore per la retta è \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{3}\\{1}}\right)} \) .

Se indichiamo con \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) un punto generico del cilindro e con \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}\\{b}\\{c}}\right)} \) un punto generico di \( \displaystyle \gamma \),
abbiamo il seguente sistema:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={a}+{0}\cdot{t}\\{y}={b}+{3}\cdot{t}\\{z}={c}+{1}\cdot{t}\\{c}={0}\\{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{4}{a}-{4}{b}={0}}\right.} \)

a questo punto è sufficiente arrivare ad un'equazione in cui non compaiono \( \displaystyle {a},{b},{c} \).
Ci sei fino a qui?

[dariuccio_1988]

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Allora il (un) vettore direttore per la retta è \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{3}\\{1}}\right)} \) .

Se indichiamo con \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) un punto generico del cilindro e con \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}\\{b}\\{c}}\right)} \) un punto generico di \( \displaystyle \gamma \),
abbiamo il seguente sistema:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={a}+{0}\cdot{t}\\{y}={b}+{3}\cdot{t}\\{z}={c}+{1}\cdot{t}\\{c}={0}\\{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{4}{a}-{4}{b}={0}}\right.} \)

a questo punto è sufficiente arrivare ad un'equazione in cui non compaiono \( \displaystyle {a},{b},{c} \).
Ci sei fino a qui?

si poi?

[franced]

Scrivere l ' equazione del cilindro con direttrici parallele alla retta di equazioni \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={1}\\{x}+{y}-{3}{z}={1}}\right.} \) e contenente la conica γ di equazioni \( \displaystyle {z}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0} \)

Allora il (un) vettore direttore per la retta è \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{3}\\{1}}\right)} \) .

Se indichiamo con \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) un punto generico del cilindro e con \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}\\{b}\\{c}}\right)} \) un punto generico di \( \displaystyle \gamma \),
abbiamo il seguente sistema:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={a}+{0}\cdot{t}\\{y}={b}+{3}\cdot{t}\\{z}={c}+{1}\cdot{t}\\{c}={0}\\{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{4}{a}-{4}{b}={0}}\right.} \)

a questo punto è sufficiente arrivare ad un'equazione in cui non compaiono \( \displaystyle {a},{b},{c} \).
Ci sei fino a qui?

si poi?

Visto che \( \displaystyle {z}={t} \) (dato che \( \displaystyle {c}={0} \)), abbiamo

\( \displaystyle {a}={x} \) , \( \displaystyle {b}={y}-{3}\cdot{z} \) ;

basta ora sostituire nell'equazione \( \displaystyle {{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{4}{a}-{4}{b}={0} \) e il gioco è fatto.


PS: modifica il titolo in "equazione cartesiana di un cilindro"

[dariuccio_1988]

Ma come mai C=0 ?

[franced]

Ma come mai C=0 ?

Perché io ho indicato con \( \displaystyle {a},{b},{c} \) le coordinate di un punto generico della conica \( \displaystyle \gamma \);
poiché quest'ultima è definita come \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{z}={0}\\{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{4}{x}-{4}{y}={0}}\right.} \) io l'ho riscritta in questo modo:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{c}={0}\\{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}+{4}{a}-{4}{b}={0}}\right.} \)

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