Equazione con vettori

[gago]

Ecco l-equazione che devo risolvere:

siano \( \displaystyle {v} \) e \( \displaystyle {w} \) ortogonali con \( \displaystyle {w}\ne{0} \). Trovare le soluzioni dell'equazione \( \displaystyle \lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{x}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt+{\left(\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{v}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\cdot\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{x}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\right)}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{w}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt+\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-weight: bold}\gt{w}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\ge{0} \)

Io avevo pensato di svolgere i vari prodotti

[vict85]

Ecco l-equazione che devo risolvere:

siano \( \displaystyle {v} \) e \( \displaystyle {w} \) ortogonali con \( \displaystyle {w}\ne{0} \). Trovare le soluzioni dell'equazione \( \displaystyle {\mathbf{{{x}}}}+{\left({\mathbf{{{v}}}}\cdot{\mathbf{{{x}}}}\right)}{\mathbf{{{w}}}}+{\mathbf{{{w}}}}={0} \)

Io avevo pensato di svolgere i vari prodotti

Prova a pensarci un po' su... Cosa vuol dire ortogonali?

[apatriarca]

Essendo una equazione della forma \( \displaystyle {x}+\alpha{w}={0} \) dove \( \displaystyle \alpha={1}+{\left({v}\cdot{x}\right)} \) e \( \displaystyle {w} \) non nullo, allora \( \displaystyle {x} \) deve essere parallelo a \( \displaystyle {w} \). Ma allora \( \displaystyle {\left({v}\cdot{x}\right)}={0} \) e quindi \( \displaystyle {x}=-{w} \).

EDIT: ho inserito il segno dimenticato

[gago]

Ecco l-equazione che devo risolvere:

siano \( \displaystyle {v} \) e \( \displaystyle {w} \) ortogonali con \( \displaystyle {w}\ne{0} \). Trovare le soluzioni dell'equazione \( \displaystyle {\mathbf{{{x}}}}+{\left({\mathbf{{{v}}}}\cdot{\mathbf{{{x}}}}\right)}{\mathbf{{{w}}}}+{\mathbf{{{w}}}}={0} \)

Io avevo pensato di svolgere i vari prodotti

Prova a pensarci un po' su... Cosa vuol dire ortogonali?

Bè se sono ortogonali il loro prodotto scalare è nullo.
\( \displaystyle {v}\cdot{x} \) mi da un numero in funzione di \( \displaystyle {x} \) che moltiplicato per \( \displaystyle {w} \) mi da un prodotto per scalari. Però non so come andare avanti.
Avevo pensato di svolgere i prodotti e scrivere \( \displaystyle {x}+{v}{w}\cdot{x}{w}+{w}={0} \)
\( \displaystyle {x}{\left({1}+{w}\right)}=-{w}-{v}{w} \)
\( \displaystyle {x}=\frac{{-{w}{\left({1}+{v}\right)}}}{{{1}+{w}}} \) è giusto così?

[apatriarca]

No. La soluzione corretta è quella che ti ho scritto.

\( \displaystyle {\left({v}\cdot{x}\right)}{w}\ne{v}{w}\cdot{x}{w} \). Il secondo membro non ha tralaltro alcun senso perché in uno spazio vettoriale il prodotto tra due vettori non è una operazione ben definita.

[gago]

No. La soluzione corretta è quella che ti ho scritto.

\( \displaystyle {\left({v}\cdot{x}\right)}{w}\ne{v}{w}\cdot{x}{w} \). Il secondo membro non ha tralaltro alcun senso perché in uno spazio vettoriale il prodotto tra due vettori non è una operazione ben definita.

Sscusami ma allora posso fare la riprova: se la soluzione è x=w sostituendo mi dovrebbe tornare un'identità e invece risulta w=0. Perchè?

[apatriarca]

Sì scusa... mi sono dimenticato di mettere il segno meno. Era ovviamente \( \displaystyle {x}=-{w} \) essendo \( \displaystyle {x}+{w}={0} \).