Equazione congruenziale

[Lorin]

L'oggetto in questione è:

\( \displaystyle {60}{x}\equiv{0}{\left(\text{mod}{7}\right)} \)

come mi devo comportare quando il termine noto è zero? Chiedo anche a livello generale!

Grazie

[Martino]

Direi che puoi ridurre modulo \( \displaystyle {7} \) e risolvere l'equazione sul campo \( \displaystyle {F}_{{7}} \). Osserva che \( \displaystyle {60} \) è un elemento invertibile in \( \displaystyle {F}_{{7}} \).

[Lorin]

si grazie.

In pratica mi conviene fare \( \displaystyle {\left[{60}\right]}_{{7}}\Rightarrow{\left[{4}\right]}_{{7}} \) quindi trovare l'inverso in \( \displaystyle {Z}_{{7}} \).

Il mio prof mi ha detto che basta trovare un multiplo di 7 per risolvere l'equazione, quinid in particolare va bene anche se stesso.

[Gatto89]

Guarda che è \( \displaystyle {60}{x}\equiv{0}{\left(\text{mod}{7}\right)} \) non \( \displaystyle {60}{x}\equiv{1}{\left(\text{mod}{7}\right)} \)... non devi cercare l'inverso, ti basta prendere \( \displaystyle {x}\equiv{0}{\left(\text{mod}{7}\right)} \)

(\( \displaystyle {60}{x}\equiv{0}{\left(\text{mod}{7}\right)} \) ti dice che \( \displaystyle {60}{x} \) è divisibile per 7, poichè 7 è primo e non compare nella fattorizzazione di 60 deve essere x un multiplo di 7)

[gugo82]

In altre parole:

\( \displaystyle {60}\equiv_{{7}}{4}\Rightarrow{60}\cdot{x}\equiv_{{7}}{4}\cdot{x} \)

visto che \( \displaystyle {{\left({4}\right)}}^{{-{1}}}\equiv_{{7}}{2} \) (infatti \( \displaystyle {2}\cdot{4}={8}\equiv_{{7}}{1} \)), hai:

\( \displaystyle {60}\cdot{x}\equiv_{{7}}{0}\Leftrightarrow{4}\cdot{x}\equiv_{{7}}{0}\Leftrightarrow{x}\equiv_{{7}}{1}\cdot{x}\equiv_{{7}}{2}\cdot{4}\cdot{x}\equiv_{{7}}{2}\cdot{0}\equiv_{{7}}{0} \);

quindi l'unica soluzione è \( \displaystyle {x}\equiv_{{7}}{0} \).

[Lorin]

siamo d'accordo.