Equazione del calore

[Pickup]

Ciao a tutti ragazzi. Sto facendo un esercizio sull'equazione del calore ma mi blocco su una cosa. Il problema è questo: Devo verificare che

\( \displaystyle {v}{\left({x},{t}\right)}={10}{t}+{5}{{x}}^{{2}} \) risolve

\( \displaystyle {v}_{{t}}-{v}_{{{x},{x}}}={0} \)
\( \displaystyle {v}{\left({x},{0}\right)}={5}{{x}}^{{2}} \)

Inoltre devo trovare la soluzione di

\( \displaystyle {w}_{{t}}-{w}_{{{x},{x}}}={5}{t}{{x}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {w}{\left({x},{0}\right)}={0} \)

Questa è un'equazione del calore. La formula che uso è questa: \( \displaystyle {U}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{4}\pi{k}{t}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}{k}{t}}}}}\cdot\phi{\left({y}\right)}{\left.{d}{y}\right.}+{\int_{{0}}^{{t}}}\frac{{1}}{{\sqrt{{{4}\pi{k}\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}{k}\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{f{{\left({y},{s}\right)}}}{\left.{d}{y}\right.}{d}{s} \)

Nel mio caso \( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}={5}{{x}}^{{2}} \) e quindi diventa: \( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{4}\pi{t}}}}\cdot\int{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}{t}}}}}\cdot{5}{{y}}^{{2}}{\left.{d}{y}\right.} \)

Tengo presente che \( \displaystyle {\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-{{z}}^{{2}}}}{\left.{d}{z}\right.}=\sqrt{{\pi}} \)
Applico la sostituzione \( \displaystyle {z}=\frac{{{x}-{y}}}{\sqrt{{{4}{t}}}} \) . Ricavo la y e ottengo \( \displaystyle {y}={x}-{2}\cdot\sqrt{{{t}}}{z} \) .

\( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{4}\pi{t}}}}\cdot\int{{e}}^{{-{{z}}^{{2}}}}\cdot{5}\cdot{{\left({x}-{2}\cdot\sqrt{{{t}}}{z}\right)}}^{{2}}{\left.{d}{z}\right.} \)


Ho provato ad applicare la sostituzione ma mi esce sbagliato. Qualcuno mi sa dare un suggerimento?

[gugo82]

E chi è \(y\) nel secondo problema?
Un parametro?
O forse il termine noto è semplicemente \(5x^2\) e si tratta di un typo?

[Pickup]

è un altro problema. Nel primo devo trovare la soluzione dell'equazione del calore. Il risultato me lo da già, e deve essere \( \displaystyle {10}{t}+{5}{{x}}^{{2}} \). Solo che a me esce sbagliato. Nel secondo problema dovrei usare la seconda parte della formula U(x,t) che ho scritto sopra. La y sarebbe un parametro che sostituita nella formula sopra diventa s , perchè sarebbe f(y,s).

Avevo dimenticato di scrivere \( \displaystyle {5}{{x}}^{{2}} \) . Scusate.

[dissonance]

Ma no!!! Nel primo problema, non occorre fare questo casino. Basta sostituire la funzione data nell'equazione e nella condizione iniziale e vedere se queste sono verificate. E' così facile che si può fare pure a mente. Non fare le cose a macchinetta.

Nel secondo punto invece puoi applicare la tua formula, ma devi decidere che cosa sia quella \(y\) nel termine forzante. Non si capisce che cosa stai dicendo riguardo il fatto che "diventa \(s\)".

[Pickup]

Scusate era t non y, avevo inteso un'altra cosa.

1) Per trovare la soluzione di

\( \displaystyle {w}_{{t}}-{w}_{{{x},{x}}}={5}{t}{{x}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {w}{\left({x},{0}\right)}={0} \)

Uso questa formula: \( \displaystyle {U}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{4}\pi{k}{t}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}{k}{t}}}}}\cdot\phi{\left({y}\right)}{\left.{d}{y}\right.}+{\int_{{0}}^{{t}}}\frac{{1}}{{\sqrt{{{4}\pi{k}\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}{k}\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{f{{\left({y},{s}\right)}}}{\left.{d}{y}\right.}{d}{s} \)

Farò \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{t}}}\frac{{1}}{{\sqrt{{{4}\pi\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}\cdot{\left({t}-{s}\right)}}}}}\cdot{5}{s}{{y}}^{{2}}{\left.{d}{y}\right.}{d}{s} \) . Da qui non so come risolve questo integrale.

2) Nel primo caso invece volevo sapere come arrivare alla soluzione, usando la formula. Questo perchè ho un altro esercizio dove la devo applicare per forza e mi blocco sempre in quel punto. Ad esempio...Considero

\( \displaystyle {u}_{{t}}-{2}{u}_{{{x},{x}}}={0} \)
\( \displaystyle {u}{\left({x},{0}\right)}=\sqrt{{{2}}}{x}+\pi \)

Devo trovare una soluzione di questo problema

\( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{4}\pi{2}{t}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{4}\cdot{2}{t}}}}}\cdot\sqrt{{{2}}}{y}+\pi{\left.{d}{y}\right.} \)

Ho usato il cambio di variabile come sopra ma sbaglio in qualcosa e non mi viene.

[Pickup]

Applico sempre la sostituzione \( \displaystyle {z}=\frac{{{x}-{y}}}{\sqrt{{{8}{t}}}} \) , ma mi trovo in difficoltà nei conti.

[gugo82]

La soluzione corretta è:
\[
w(x,t) = \frac{5}{6}\ t^2 (3x^2 +2t)\; .
\]
Tuttavia non sono riuscito a calcolarla mediante convoluzione... Qualcuno mi spiega dov'è il problema?
I conti sono qui sotto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per risolvere \(w_t(x,t)-w_{xx}(x,t)=f(x,t)\) nel semipiano \(t>0\) devi fare la convoluzione del termine noto \(f(x,t)\) colla soluzione fondamentale dell'equazione del calore \(\Phi (x,t)\) rispetto alla variabile spaziale \(x\); quindi una soluzione è esprimibile mediante l'integrale:
\[
w(x,t):=\int_{-\infty}^\infty f(x-y,t)\ \Phi(y,t)\ \text{d} y\; .
\]
Nel tuo caso è:
\[
f(x,t) := 5tx^2
\]
ed ovviamente:
\[
\Phi (x,t) := \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\ \exp \left( -\left(\frac{x}{\sqrt{4t}}\right)^2 \right)\; ,
\]
quindi la tua soluzione è:
\[
w(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{5t\ (x-y)^2}{\sqrt{4\pi t}}\ \exp \left( -\left(\frac{y}{\sqrt{4t}}\right)^2 \right)\ \text{d} y\; .
\]
Posto \(z=y/\sqrt{4t}\), si ha:
\[
\begin{split}
w(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \int_{-\infty}^\infty 5t\ (x-\sqrt{4 t}\ z)^2\ \exp \left( -z^2 \right)\ \text{d} z\\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \int_{-\infty}^\infty 5t\ (x^2-4\sqrt{t}\ xz +4t\ z^2)\ \exp \left( -z^2 \right)\ \text{d} z
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale si calcola per decomposizione in somma: infatti:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty 5t\ x^2\ \exp \left( -z^2 \right)\ \text{d} z &= 5\sqrt{\pi}\ t\ x^2\\
-\int_{-\infty}^\infty 20 t\sqrt{t} xz\ \exp \left( -z^2 \right)\ \text{d} z &= 10 t\sqrt{t}\ x \int_{-\infty}^\infty (-2z) e^{-z^2}\ \text{d} z\\
&= 10 t\sqrt{t}\ x e^{-z^2}\Big|_{-\infty}^\infty\\
&=0\\
\int_{-\infty}^\infty 20 t^2\ z^2\ \exp \left( -z^2 \right)\ \text{d} z &= -10 t^2\ \int_{-\infty}^\infty z\ (-2z)e^{-z^2}\ \text{d} z\\
&= -10t^2\ ze^{-z^2}\Big|_{-\infty}^\infty +10 t^2\ \int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\ \text{d} z\\
&= 10\sqrt{\pi}\ t^2
\end{split}
\]
ergo:
\[
w(x,t)=5t(x^2+2t)\; .
\]
Tuttavia si fanno i conti e si trova:
\[
w_t(x,t)-w_{xx}(x,t) = 5x^2+10t \neq 5tx^2\ldots
\]
Sarò stanco, ma non vedo l'errore.

[Pickup]

\( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{8}\pi{t}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-\frac{{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}}{{{8}{t}}}}}\cdot\sqrt{{{2}}}{y}+\pi{\left.{d}{y}\right.} \)

Pongo \( \displaystyle {z}=\frac{{{x}-{y}}}{\sqrt{{{8}{t}}}} \) Ricavo il \( \displaystyle {\left.{d}{z}\right.}=-\frac{{\left.{d}{y}\right.}}{{\sqrt{{{8}{t}}}}} \) e \( \displaystyle {y}={x}-{2}\cdot\sqrt{{{2}{t}}}\cdot{z} \)

Sapendo che \( \displaystyle {\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-{z}}}{\left.{d}{z}\right.}=\sqrt{{\pi}} \)

Sostituisco la \( \displaystyle {y} \) e ottengo

\( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}=\frac{{1}}{\sqrt{{{8}\pi{t}}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-{z}}}\cdot\sqrt{{{2}}}\cdot{x}-{2}\cdot\sqrt{{{2}{t}}}\cdot{z}+\pi{\left.{d}{z}\right.} \)


\( \displaystyle =\frac{{1}}{\sqrt{{\pi}}}\cdot{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{e}}^{{-{z}}}\cdot\sqrt{{{2}}}\cdot{x}-{2}\cdot\sqrt{{{2}{t}}}+\pi{\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{z}\cdot{{e}}^{{-{{z}}^{{2}}}}{\left.{d}{z}\right.}=\sqrt{{{2}}}{x}+\pi \)

Può andare bene il discorso secondo voi ?