emanuele78 ha scritto:Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:
$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$
Bene questo è vero e per la risoluzione può tornare utile.
inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro
Questa invece non l'ho capita. E' giusto ciò che dici nella prima parte, mentre non capisco cosa significa che l'insieme quoziente (immagino rispetto alla coniugio) è il centro. Il centro è semplicemente l'insieme degli elementi coniugati solo con se stessi.
Infatti la definizione che ne dai è giusta:
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$
Provo a darti un suggerimento su come l'ho risolto io (sperando che sia corretto!).
Partiamo dall'equazione delle classi essa è $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)|$ con $x_i in G$ e $Cl(x_i)$ è la classe di coniugio di $x_i$.
Raffinando quest'equazione possiamo scrivere $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)| + |Z(G)|$ con $x_i in G$ tale che $x_i$ non appartiene al centro di $G$.
Ora ricordiamo che l'ordine delle classi di coniugazione (cioè le orbite per la coniugio) divide l'ordine del gruppo, cioè $64=2^6$.
Prova a mettere insieme questi dati che ti ho fornito e vedi se giungi ad una conclusione