Equazione delle Classi

Messaggioda emanuele78 » 07/11/2010, 16:16

Salve a tutti sono alle prese con questo esercizio.

Siano $G$ di ordine $64$ e $Z(G)$ di ordine $2$.
Utilizzando l'equzione delle classi provare che esiste un elemento $x in G$ il cui centralizzante $C(x)$ ha ordine $32$.

Di questa equazione non ho proprio idea, ho cercato sul web ma ho trovato pochi riscontri, tra l'altro poco chiari.

Avete qualche idea?

Grazie
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Messaggioda mistake89 » 07/11/2010, 16:25

Cos'è il centralizzante di un elemento? E qual è l'equazione delle classi?
Io guarderei pure al teorema orbita-stabilizzatore e alle azioni di gruppi.
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Messaggioda emanuele78 » 07/11/2010, 17:07

mistake89 ha scritto:Cos'è il centralizzante di un elemento? E qual è l'equazione delle classi?
Io guarderei pure al teorema orbita-stabilizzatore e alle azioni di gruppi.


Premessa il centralizzante di un gruppo $G$ è $C(N)$ $=$ ${x in G | xn = nx AA n in N}$

Ho trovato quanto segue:
Nel caso di azione di un gruppo su se stesso lo stabilizzatore coincide con il centralizzante.
Mentre il nucleo dell'azione di $x$ su $G$ coincide con il centro del gruppo.

Ora l'ordine del nucleo di una azione (secondo l'equazione delle classi che ho trovato) è dato da

$|[x]|$ $=$ $|G| : |C_x(N)| $

Quindi nel caso posso affermare che $|G|$ $=$ $|[x]|$$|C_x(N)|$

e quindi se $|G|$ $=$ $64$ e $Z(G)$ $=$ $2$ deve necessariamente essere che esiste un elemento $x$ il cui centralizzante ha ordine $32$

(Credo)
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Messaggioda mistake89 » 07/11/2010, 18:11

Mi dici che equazioni delle classi hai trovato?
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Messaggioda emanuele78 » 08/11/2010, 17:29

Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:

$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$

inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro

$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$

Mentre lo stabilizzatore dell'elemento $x$ è il suo centralizzante $C(x)$ $=$ ${g in G | gx = xg}$


L'equazione delle classi è:

$|G|$ $=$ $|G:C(x_1)|$$......$$|G:C(x_r)|$

dove $x_1|$, $x_r$ sono i rappresentanti delle classi di equivalenza di coniugio.

Il mio problema è che non riesco a legare l'equazione delle classi a quanto sopra trovato

Come mai mi ritrovo $|G|$ in ambo i lati dell'equazione?

Grazie
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Messaggioda mistake89 » 08/11/2010, 17:40

emanuele78 ha scritto:Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:

$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$

Bene questo è vero e per la risoluzione può tornare utile.

inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro

Questa invece non l'ho capita. E' giusto ciò che dici nella prima parte, mentre non capisco cosa significa che l'insieme quoziente (immagino rispetto alla coniugio) è il centro. Il centro è semplicemente l'insieme degli elementi coniugati solo con se stessi.
Infatti la definizione che ne dai è giusta:
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$

Provo a darti un suggerimento su come l'ho risolto io (sperando che sia corretto!).

Partiamo dall'equazione delle classi essa è $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)|$ con $x_i in G$ e $Cl(x_i)$ è la classe di coniugio di $x_i$.
Raffinando quest'equazione possiamo scrivere $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)| + |Z(G)|$ con $x_i in G$ tale che $x_i$ non appartiene al centro di $G$.

Ora ricordiamo che l'ordine delle classi di coniugazione (cioè le orbite per la coniugio) divide l'ordine del gruppo, cioè $64=2^6$.

Prova a mettere insieme questi dati che ti ho fornito e vedi se giungi ad una conclusione :)
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Messaggioda emanuele78 » 09/11/2010, 18:55

mistake89 ha scritto:
emanuele78 ha scritto:Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:

$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$

Bene questo è vero e per la risoluzione può tornare utile.

inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro

Questa invece non l'ho capita. E' giusto ciò che dici nella prima parte, mentre non capisco cosa significa che l'insieme quoziente (immagino rispetto alla coniugio) è il centro. Il centro è semplicemente l'insieme degli elementi coniugati solo con se stessi.
Infatti la definizione che ne dai è giusta:
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$

Provo a darti un suggerimento su come l'ho risolto io (sperando che sia corretto!).

Partiamo dall'equazione delle classi essa è $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)|$ con $x_i in G$ e $Cl(x_i)$ è la classe di coniugio di $x_i$.
Raffinando quest'equazione possiamo scrivere $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)| + |Z(G)|$ con $x_i in G$ tale che $x_i$ non appartiene al centro di $G$.

Ora ricordiamo che l'ordine delle classi di coniugazione (cioè le orbite per la coniugio) divide l'ordine del gruppo, cioè $64=2^6$.

Prova a mettere insieme questi dati che ti ho fornito e vedi se giungi ad una conclusione :)


Grazie Mistake per l'aiuto.

Penso di aver risolto nel seguente modo.

$Z(G)$ è una particolare classe di coniugio, pertanto ad essa è associata un elemento $x$ il cui centralizzante ha odine che divide $|G|$. Fissato quindi l'ordine di $Z(G)$ e di $G$ allora necessariamete deve esistere un elemento $x$ il cui centralizzante ha ordine $|G|$$:$$Z(G)$, nel caso il cetralizzante di $x$ ha ordine $32$.
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Messaggioda mistake89 » 09/11/2010, 22:33

Mmm francamente la tua soluzione non mi convince.

Innanzi tutto $Z(G)$ non è una classe di coniugio (come potrebbe esserlo? Il centro è l'insieme degli elementi autoconiugati, cioè delle classe ridotte al solo elemento!). E non capisco cosa voglia significare che $Z(G)$ è associato un elemento $x$. Chi sarebbe questo elemento?

Se pensi che questo $x$ sia l'elemento non identico che sta nel centro, ciò che dici non è vero, perchè esso è centralizzato (ovviamente) da tutto il gruppo $G$.
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Messaggioda emanuele78 » 10/11/2010, 18:06

mistake89 ha scritto:Mmm francamente la tua soluzione non mi convince.

Innanzi tutto $Z(G)$ non è una classe di coniugio (come potrebbe esserlo? Il centro è l'insieme degli elementi autoconiugati, cioè delle classe ridotte al solo elemento!). E non capisco cosa voglia significare che $Z(G)$ è associato un elemento $x$. Chi sarebbe questo elemento?

Se pensi che questo $x$ sia l'elemento non identico che sta nel centro, ciò che dici non è vero, perchè esso è centralizzato (ovviamente) da tutto il gruppo $G$.


Ok.
Deduco dalla equazione delle classi che $Z(G)$ $=$ $|G| - \sum_{i=1}^r |Cx_i|$, per cui la sommatoria di tutti gli ordini delle classi di

coniugio è $62$, ed essendo tali ordini anche divisori di $|G|$, essi assumono i seguenti valori $2,4,8,16,32$, quindi esiste un $x$ il cui centralizzante ha ordine $32$.


Grazie

PS
Volevo farti un'altra domanda, il centro di un gruppo, deve contenere tutti i sottogruppi normali di un gruppo?

Secondo me si vista la definizione di centro si. Ma non ho trovato riscontri teorici.
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Messaggioda mistake89 » 10/11/2010, 18:48

Perfetto, i divisori sono quelli e la loro somma deve essere pari a $62$, ma non abbiamo ancora dimostrato l'esistenza.
Devi fare un'altra piccola osservazione per poter concludere.

Per il PS. Mmm perchè dovrebbe contenere tutti i sottogruppi normali? Non è affatto vero. Anche perchè il centro è un sottogruppo e contiene pertanto "elementi" di $G$. Come potrebbe contenere sottogruppi? Non capisco che vuoi dire.
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