Equazione di Legendre

[richard84]

Ciao, devo chiedere una cortesia: sto studiando l'atomo d idrogeno e per arrivare alla sua descrizione completa si passa attraverso la seguente eq. di Legendre:
\( \displaystyle {\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}\frac{{{{d}}^{{2}}{P}}}{{{{\left.{d}{x}\right.}}^{{2}}}}-{2}{x}\frac{{{d}{P}}}{{{\left.{d}{x}\right.}}}+{\left[\beta-\frac{{{m}}^{{2}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}\right]}{P}{\left({x}\right)}={0} \)
dove \( \displaystyle {x}={\cos{\theta}} \) e \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) e il polinomio di Legendre...
Vi chiedo per curiosita personale se molto gentilmente poteti farmi vedere come si risolve l equazione e soprattutto come si trova che \( \displaystyle \beta={l}{\left({l}+{1}\right)} \)....
per favore!!!
grazie
ciao!

[raff5184]

http://krein.unica.it/~cornelis/DIDATTI ... ti_old.pdf
Non l'ho letto con molta attenzione comunque vedi da pagina 51 in poi

[richard84]

grazie guardero....
ancora un chiarificazione: sempre atomo d idrogeno.
Possiamo trovare un valore per il momento angolare e per una delle sue componenti, di solito \( \displaystyle {L}_{{z}} \).
Il mio libro dice: "Siccome il sistema rotante nn sa riconoscere x da y e da z e, infatti, questa capacita di distinguare tra le tre direzioni spiega il perche il sistema e 2l+1 volte degenere"
Come mai 2l+1 volte? sempre dal libro ho capito che il numero quantico m magnetico puo assumere 2l+1 valori, ma nn capisco perche tali orbitali devono essere 2l+1 volte degneri, nn collego le due cose. Forse perche l energia dipende solo da n (numero quantico principale) ??ma se cosi cosa c entra che il sistema nn sa riconoscere x da y e da z??
grazie ciao

[richard84]

nessuno mi riesce a dire qualcosa?