Equazione di Poisson

[SimoPR]

Ciao a tutti ragazzi, avrei un piccolo problemino matematico. Il mio problema è questo:
Ho un cubo, di dimensioni date, nella quale si ha una generazione di calore q [W/m^3] costante in ogni suo punto. Io devo trovare l'andamento di temperatura in condizioni stazionarie. Ovvero in poche parole devo risolvere:

\( \displaystyle {\nabla}^{{2}}{T}{\left({x},{y},{z}\right)}=-\frac{{q}}{{k}} \)

con laplaciano in coordinate standard, e condizione al contorno che le facce si trovino tutte a 293K e k=conducibilità termica costante nel mezzo. E' possibile avere una forma esplicita della soluzione oppure devo ricorrere al calcolo numerico?

[alle.fabbri]

si puo' risolvere analiticamente. Non e' neanche troppo difficile concettualmente, pero' e' un po' lungo e laborioso. Non so fino a che punto ne valga la pena, se non come esercizio sulle PDE. Hai provato a sentire cosa ne pensa mathematica?

[alle.fabbri]

Ripensavo al tuo problema e mi sono accorto che trovare la soluzione non è affatto lungo e nemmeno laborioso, basta ricordarsi un po' di teoria (non come me quindi...).
In generale il problema che sottoponi è del tipo
\( \begin{cases}
\nabla^2 u(x,y,z) = f(x,y,z) \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. u(x,y,z) \right|_{\partial D} = g(x,y,z)
\end{cases}
\)
dove \( \displaystyle {D} \) è il cubo di lato \( \displaystyle {L} \) ed \( \displaystyle {f} \) e \( \displaystyle {g} \) funzioni note. Prima cosa spezzi il problema in due, ponendo \( \displaystyle {u}={v}+{w} \) dove
\( \begin{cases}
\nabla^2 v = 0 \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. v \right|_{\partial D} = g
\end{cases} \qquad
\begin{cases}
\nabla^2 w = f \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. w \right|_{\partial D} = 0
\end{cases}
\)
così ti sei ricondotto a due problemi in cui o l'equazione o la condizione al bordo sono omogenee. Visto che \( \displaystyle {g{=}}\text{cost.} \) il problema per \( \displaystyle {v} \) è facile, se uno si ricorda il Principio del Massimo per le funzioni armoniche, e la soluzione è \( \displaystyle {v}{\left({x},{y},{z}\right)}={293}{K} \).
Per \( \displaystyle {w} \) non va così liscia e bisogna un po' sporcarsi le mani. L'idea è cercare un soluzione scritta come tripla serie di Fourier di soli seni, come suggerito dalle condizioni al contorno omogenee, del tipo
\( \displaystyle {w}{\left({x},{y},{z}\right)}=\sum_{{{n},{m},{l}}}{c}_{{{n}{m}{l}}}\quad{\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}} \)
dove
\( \displaystyle \sum_{{{n},{m},{l}}}={\sum_{{{n}={1}}}^{{\infty}}}{\sum_{{{m}={1}}}^{{\infty}}}{\sum_{{{l}={1}}}^{{\infty}}} \)
Una \( \displaystyle {w} \) scritta così automaticamente soddisfa le condizioni al contorno. Restano da determinare i coefficienti \( \displaystyle {c}_{{{n}{m}{l}}} \). Sostituendo la formula precendente nell'equazione di Poisson ottieni
\( \displaystyle {\nabla}^{{2}}{w}=\sum_{{{n},{m},{l}}}{c}_{{{n}{m}{l}}}\quad{\nabla}^{{{2}}}{\left({\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}}\right)}= \)
\( \displaystyle =-{{\left(\frac{{\pi}}{{{L}}}\right)}}^{{2}}\sum_{{{n},{m},{l}}}{c}_{{{n}{m}{l}}}{\left[{{n}}^{{2}}+{{m}}^{{2}}+{{l}}^{{2}}\right]}{\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}}={f{{\left({x},{y},{z}\right)}}} \)
Assumendo di poter espandere anche \( \displaystyle {f} \) in tripla serie di seni, cioè
\( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}=\sum_{{{n},{m},{l}}}{f}_{{{n}{m}{l}}}\quad{\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}} \)
dove
\( \displaystyle {f}_{{{n}{m}{l}}}=\frac{{8}}{{{{L}}^{{3}}}}\int_{{D}}{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} \)
e imponendo l'uguaglianza delle due espansioni, ottieni le relazioni tra i coefficienti
\( \displaystyle -{{\left(\frac{{\pi}}{{{L}}}\right)}}^{{2}}{c}_{{{n}{m}{l}}}{\left[{{n}}^{{2}}+{{m}}^{{2}}+{{l}}^{{2}}\right]}={f}_{{{n}{m}{l}}} \)
e quindi
\( \displaystyle {w}{\left({x},{y},{z}\right)}=-{{\left(\frac{{{L}}}{{\pi}}\right)}}^{{2}}\sum_{{{n},{m},{l}}}\frac{{{f}_{{{n}{m}{l}}}}}{{{{n}}^{{2}}+{{m}}^{{2}}+{{l}}^{{2}}}}{\sin{{\left(\frac{{{n}\pi}}{{L}}{x}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{m}\pi}}{{L}}{y}\right)}}}{\sin{{\left(\frac{{{l}\pi}}{{L}}{z}\right)}}} \)
Non è troppo difficile calcolare i coefficienti \( \displaystyle {f}_{{{n}{m}{l}}} \) siccome nel tuo caso \( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}=\frac{{q}}{{k}} \), cioè una costante.