Equazione di secondo grado con radici razionali - SNS 1971

[elios]

"Se \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \) sono numeri interi dispari, l'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{p}\cdot{x}+{2}{q}={0} \) non ha radici razionali.
E' facoltativo dimostrare che la stessa conclusione vale per l'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{n}}+{2}{p}\cdot{x}+{2}{q}={0} \)"

La prima parte si risolve facilmente, anche attraverso l'equazione risolvente delle equazioni di secondo grado. E' la seconda parte a bloccarmi.. Come devo ragionare? Cercando di ricavarmi la \( \displaystyle {x} \) oppure analizzando il tipo di equazione?
Grazie.

[Paolo90]

C'ero già passato io, con insuccesso, un po' di tempo fa. Guarda qui, Elios.

Ciao.

[elios]

Grazie del link Paolo, ma in quel link si risolve la prima parte, che è quella che ho risolto.. E' la seconda parte che mi risulta difficile! Forse mi è sfuggito qualcosa del link?

[Steven]

Ciao a entrambi
Secondo punto:

Per assurdo, sia \( \displaystyle \frac{{a}}{{b}} \) il numero razionale soluzione di
\( \displaystyle {{x}}^{{n}}+{2}{p}{x}+{2}{q}={0} \) con \( \displaystyle {m}{c}{d}{\left({a},{b}\right)}={1} \) (frazione ridotta ai minimi termini)

Quindi si ha
\( \displaystyle \frac{{{a}}^{{n}}}{{{b}}^{{n}}}+{2}{p}\frac{{a}}{{b}}+{2}{q}={0} \) Moltiplicando per \( \displaystyle {{b}}^{{n}} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{n}}+{2}{p}{a}{{b}}^{{{n}-{1}}}+{2}{q}{{b}}^{{n}}={0} \) cioè

\( \displaystyle {{a}}^{{n}}=-{2}{p}{a}{{b}}^{{{n}-{1}}}-{2}{q}{{b}}^{{n}} \) ma questo implica \( \displaystyle {a} \) pari quindi sia \( \displaystyle {a}={2}\alpha \) Ottengo, isolando \( \displaystyle {2}{q}{{b}}^{{n}} \)

\( \displaystyle {2}{q}{{b}}^{{n}}=-{{2}}^{{n}}{\alpha}^{{n}}-{2}{p}\cdot{2}\alpha\cdot{{b}}^{{{n}-{1}}} \)

Il secondo membro è certamente divisibile per \( \displaystyle {4} \) perché \( \displaystyle {n}\ge{3} \) per ipotesi.

Dunque pure il primo membro deve essere multiplo di \( \displaystyle {4} \), ma \( \displaystyle {q} \) è dispari e non ha voce in capitolo, \( \displaystyle {2} \) da solo non basta.. quindi \( \displaystyle {b} \) è pari.

Cioè sia \( \displaystyle {a} \) che \( \displaystyle {b} \) sono pari, in contraddizione con il fatto che erano coprimi.

Disponibile in caso di dubbi.
Ciao!

[Paolo90]

Grande Steve, bella dimostrazione, complimenti. Io non ci sarei mai arrivato (e, infatti, come ben sai , non ho fatto il test in Normale).

Grazie mille di tutto. Ciao!

[elios]

Chiaro, grazie Steve! Quindi in un caso come questo, con un'equazione di grado \( \displaystyle {n} \) la cosa migliore da fare è sostituire la soluzione ipotizzata reale piuttosto che esplicitare la \( \displaystyle {x} \) dall'equazione..
Grazie ancora!

[Steven]

La soluzione ipotizzata RAZIONALE, semmai...

Io ricordavo di un altro esercizio simile (magari è lo stesso?) svolto sul forum, da Wizard mi pare, dove si procedeva appunto in questo modo.
Quindi sì, può essere un metodo da farsi venire in mente.

Alternativamente, io all'inizio avevo provato con le formule di Viète
http://it.wikipedia.org/wiki/Formule_di_Vi%C3%A8te
ma non ho approfondito perché poi ho trovato il modo più diretto e fruttuoso.

Ciao!

[elios]

sì, volevo dire RAZIONALE -.-"

[elios]

Un'ultima cosa: con il tuo ragionamento in pratica si ottiene una contraddizione, cioé che la frazione non è ridotta agli ultimi termini. Questo basta a dire che è impossibile che la frazione non può esistere?

[Steven]

Un'ultima cosa: con il tuo ragionamento in pratica si ottiene una contraddizione, cioé che la frazione non è ridotta agli ultimi termini. Questo basta a dire che è impossibile che la frazione non può esistere?

Sì.
Perché se la frazione esiste, noi prendiamo la forma ridotta ai minimi termini (tra le possibili infinite) e sostituiamo.
Mediante passaggi leciti, mostriamo che quella frazione è contemporanemanete ridotta ai minimi termini e non: un palese assurdo, quindi significa che la storia non funge e non esiste alcuna frazione tale che...[etc]

Ti è chiaro? Ciao!