equazione di terzo grado

[rose]

ciao a tutti mi sapreste dire che relazione c'è tra i coefficienti di un'equazione algebrica di terzo grado e le sue radici? grazie in anticipo

[mircoFN]

\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{\frac{{{a}_{{2}}}}{{{a}_{{3}}}}}{{x}}^{{2}}+{\frac{{{a}_{{1}}}}{{{a}_{{3}}}}}{x}+{\frac{{{a}_{{0}}}}{{{a}_{{3}}}}}={\left({x}-{x}_{{1}}\right)}{\left({x}-{x}_{{2}}\right)}{\left({x}-{x}_{{3}}\right)} \)

[rose]

non intendevo questo ma ad esempio se considero un'equazione di 2°
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{a}{x}+{b}={0} \) e indico con \( \displaystyle {x}_{{1}},{x}_{{2}} \) le sue radici si potrebbe avere che
\( \displaystyle {x}_{{1}}+{x}_{{2}}={a} \) e \( \displaystyle {x}_{{1}}{x}_{{2}}={b} \)

ora se ho un'equazione di 3°
\( \displaystyle {a}{{x}}^{{3}}+{b}{{x}}^{{2}}+{c}{x}+{d}={0} \) con \( \displaystyle {x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}} \) le sue radici posso avere delle relazioni simili alle precedenti?
\( \displaystyle {x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{x}_{{3}}=? \)
\( \displaystyle {x}_{{1}}{x}_{{2}}{x}_{{3}}=? \)
\( \displaystyle {x}_{{1}}{x}_{{2}}+{x}_{{1}}{x}_{{3}}+{x}_{{2}}{x}_{{3}}=? \)

[gugo82]

Parti da un polinomio monico di terzo grado, ossia del tipo \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c} \), e supponi che tale polinomio abbia radici \( \displaystyle {x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}} \); ora hai:

\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c}={\left({x}-{x}_{{1}}\right)}\cdot{\left({x}-{x}_{{2}}\right)}\cdot{\left({x}-{x}_{{3}}\right)} \)

e se svolgi i prodotti al secondo membro ed applichi il principio di identità dei polinomi ("Due polinomi sono uguali se e solo se hanno i coefficienti ordinatamente uguali", valido in qualunque campo infinito) dovresti ottenere subito la risposta.

[rose]

ok grazie mille

[mircoFN]

ok grazie mille

scusa ma non è esattamente lo stesso di quello che avevo postato prima?

[franced]

Prova a guardare anche qui (il file sta nel mio sito personale)

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _grado.pdf

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Sposto in Algebra che mi pare più appropriato.[/mod]

Provo allora uno step per induzione; credo sia una supposizione corretta, ma non essendo esperto di polinomi lascio a voi dirimere la questione...

Sia \( \displaystyle {P}={{X}}^{{n}}+{a}_{{1}}{{X}}^{{{n}-{1}}}+\ldots+{a}_{{{n}-{1}}}{X}+{a}_{{n}}\in\mathbb{C}{\left[{X}\right]} \) un polinomio monico di grado \( \displaystyle {n} \) sui complessi (si potrebbe mettere un qualunque campo algebricamente chiuso, I suppose); dette \( \displaystyle {x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}} \) le radici di \( \displaystyle {P} \), eventualmente ognuna ripetuta secondo la sua molteplicità, risulta:

\( \displaystyle \forall{k}\in{\left\lbrace{0},\ldots,{n}-{1}\right\rbrace},{a}_{{k}}=-{S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)} \)

ove \( \displaystyle {S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)} \) è la funzione simmetrica elementare di ordine \( \displaystyle {k} \) su \( \displaystyle {x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}} \); ad esempio:

\( \displaystyle {S}_{{0}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{x}_{{i}} \) e \( \displaystyle {S}_{{n}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)}={\prod_{{{i}={1}}}^{{n}}}{x}_{{i}} \)

mentre in generale:

\( \displaystyle {S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)}=\sum_{{{i}_{{1}}\lt{i}_{{2}}\lt\ldots\lt{i}_{{n}}}}{x}_{{{i}_{{1}}}}\cdot\ldots\cdot{x}_{{{i}_{{n}}}} \).

[rose]

l'unica cosa ke credo vada aggiustata è
\( \displaystyle \forall{k}\in{\left\lbrace{0},\ldots,{n}-{1}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {a}_{{k}}={{\left(-{1}\right)}}^{{{k}+{1}}}{S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)} \)

[gugo82]

In effetti sarebbe:

\( \displaystyle \forall{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace},{a}_{{k}}={{\left(-{1}\right)}}^{{k}}{S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)} \)

con \( \displaystyle {S}_{{k}}{\left({x}_{{1}},\ldots,{x}_{{n}}\right)}=\sum_{{{i}_{{1}}\lt\ldots\lt{i}_{{k}}}}{x}_{{{i}_{{1}}}}\cdot\ldots\cdot{x}_{{{i}_{{k}}}}=\sum_{{{i}_{{1}}\lt\ldots\lt{i}_{{k}}}}{\prod_{{{h}={1}}}^{{k}}}{x}_{{{i}_{{h}}}} \).

Scusa rose, avevo scritto in fretta e male.