Equazione Differenziale

[squalllionheart]

Riporto un'altro esercizio che non riesco a risolvere, per confermare la tesi che non le so risolvere...

Per approssimare la soluzione del problema di Cauchy
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left({y}'={f{{\left({x},{y}\right)}}}\right)},{\left({y}{\left({0}\right)}={y}_{{0}}\right)}\right.} \)
Si considera il metodo
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left(\eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{{i}}}+{h}{\left[\alpha{f{{\left({x}_{{i}},\eta_{{i}}\right)}}}+{\left({1}-\alpha\right)}{f{{\left({x}_{{i}}+{h},\eta_{{i}}+{h}{f{{\left({x}_{{i}},\eta_{{i}}\right)}}}\right)}}}\right]}\right)},{\left(\eta_{{0}}={y}_{{0}}\right)}\right.} \)

1) Analizzare al variare di \( \displaystyle \alpha \) l'ordine del metodo e stabilire se esistono valori di \( \displaystyle \alpha \) per cui il metodo risulta implicito;
2) Dato il problema \( \displaystyle {z}'+{z}={0},{z}{\left({0}\right)}={1} \),
-Determinare la soluzione;
-Approssimare la soluzione in \( \displaystyle {x}={.2} \) utilizzando 1 passo del metodo di Eulero con \( \displaystyle {h}={.2} \) e controntare il risultato ottenuto con il corrispondente valore della soluzione esatta;
-Approssimare la soluzione in \( \displaystyle {x}={.2} \) utilizzando 1 passo del metodo con \( \displaystyle \alpha={0} \), \( \displaystyle {h}={.2} \) e controntare il risultato ottenuto con il corrispondente valore della soluzione esatta;
-Approssimare la soluzione in \( \displaystyle {x}={.2} \) utilizzando 1 passo del metodo assegnato con \( \displaystyle \alpha=\frac{{1}}{{2}} \) \( \displaystyle {h}={.2} \) e confrontare il risultato ottenuto con il corrispondente valore della soluzione esatta.

1)Per quanto il metodo è esplicito e non esistono valori di \( \displaystyle {h} \) tali per cui questo diventare implicito.
2) la soluzione del problema di Cauchy esatta è \( \displaystyle {z}{\left({x}\right)}={{e}}^{{-{{x}}}} \), saltando il secondo punto del punto due momentaneamente, mi interessava capire come sciogliere il fatidico nodo, non scrivo tutti i passaggi che ho fatto altrimenti affittiamo domani, cmq ho posto \( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}=-{y} \) dato che \( \displaystyle {z}'+{z}={0} \) a questo punto ho che in generale \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{i}},\eta_{{i}}\right)}}}=-\eta \).
A questo punto dopo un pò di passaggi nel metodo arrivo a trovare:
\( \displaystyle \eta_{{i}}={{\left[{1}+{{h}}^{{2}}-{h}-\alpha{{h}}^{{2}}\right]}}^{{i}} \)
A questo punto che devo fare?
Grazie in anticipo.

[orazioster]

se devi trovare il
valore in\( \displaystyle {x}={.2} \) -ed il passo \( \displaystyle {h} \) è \( \displaystyle {.2} \) _
quello che cerchi è \( \displaystyle \eta_{{1}} \).

[squalllionheart]

Ma i passaggi vanno bene per te?

[orazioster]

2) la soluzione del problema di Cauchy esatta è \( \displaystyle {z}{\left({x}\right)}={{e}}^{{-{{x}}}} \), saltando il secondo punto del punto due momentaneamente, mi interessava capire come sciogliere il fatidico nodo, non scrivo tutti i passaggi che ho fatto altrimenti affittiamo domani, cmq ho posto \( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}=-{y} \) dato che \( \displaystyle {z}'+{z}={0} \) a questo punto ho che in generale \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{i}},\eta_{{i}}\right)}}}=-\eta \).

Sì,
però a me viene \( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}{\left[{1}-{h}+{\left({1}+\alpha\right)}{{h}}^{{2}}\right]} \)

[squalllionheart]

Grazie ricontrollo i calcoli