Equazione goniometrica

[smemo89]

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questa equazione goniometrica: \( \displaystyle {5}-{2}{{\cos}}^{{2}}{x}-{4}{s}{e}{n}{x}={2}{{\cos}}^{{2}}{x} \) . Dall'entità fondamentale mi trovo che \( \displaystyle {{\cos}}^{{2}}{x}={1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}{x} \) , quindi: \( \displaystyle {5}-{2}\cdot{\left({1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}\right)}-{4}{s}{e}{n}{x}={2}{\left({1}-{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}\right)} \) . Alla fine mi trovo: \( \displaystyle {4}{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}-{4}{s}{e}{n}{x}+{1}={0} \) , ma svolgendo l'equazione di secondo grado non mi trovo. Vorrei sapere se ho sbagliato fino a quel punto che ho scritto oppure probabilmente sbaglio a risolvere l'equazione. Vi ringrazio in anticipo. Ciao.

[Simone Russo]

mi sembra giusto

[smemo89]

E perchè poi quando faccio l'equazione non mi trovo?

[Simone Russo]

Non lo so, sarà sbagliato il libro. I passaggi mi sembrano giusti, e alla fine dovrebbe venire \( \displaystyle {s}{e}{n}{x}=\frac{{1}}{{4}} \)

[smemo89]

Ma dal punto di vista trigonometrico poi che angolo è quando il seno è \( \displaystyle \frac{{1}}{{4}} \) ?

[Simone Russo]

non è un seno noto, devi scrivere semplicemente \( \displaystyle {x}={a}{r}{c}{s}{e}{n}{\left(\frac{{1}}{{4}}\right)} \) facendo attenzione che la funzione \( \displaystyle {a}{r}{c}{s}{e}{n} \) restituisce sempre angoli compresi tra meno pi greco mezzi e pi greco mezzi

[smemo89]

Ma il libro alla fine mi da come soluzione 30+k360 e 150+k360. Come è possibile?

[luca.barletta]

Attenzione: \( \displaystyle {4}{{\sin}}^{{2}}{x}-{4}{\sin{{x}}}+{1}={{\left({2}{\sin{{x}}}-{1}\right)}}^{{2}}={0}\rightarrow{2}{\sin{{x}}}-{1}={0}\rightarrow{\sin{{x}}}=\frac{{1}}{{2}} \)
dunque la sol è: \( \displaystyle {x}=\frac{\pi}{{6}}+{2}{k}\pi \) e \( \displaystyle {x}=\frac{{5}}{{6}}\pi+{2}{k}\pi \)

[Simone Russo]

ops è vero... che figura...

[smemo89]

Tutto ok, sbagliavo a risolvere l'equazione. Ora però un problema simile è con: \( \displaystyle {2}{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}={3}{\cos{{x}}} \) , ho fatto: \( \displaystyle {s}{e}{{n}}^{{2}}{x}={1}-{{\cos}}^{{x}} \) e alla fine mi trovo: \( \displaystyle {2}{{\cos}}^{{2}}{x}+{3}{\cos{{x}}}-{2}={0} \) (ho cambiato i segni) e svolgendo l'eq. di secondo grado mi trovo \( \displaystyle \frac{{-{3}\pm\sqrt{{7}}}}{{4}} \). Cosa faccio?