Ricordo questa questione sorta tanti anni fa, in un corso abilitante.
Si partiva dall’equazione:
$x - ln (x) = 0$
che corrisponde all'esponenziale: $x^(1/x) = e$
Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse $2^(1/2)$ l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse $3^(1/3)$ si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare $e$ come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?