Equazione x-ln(x)=0

[cisufo]

Ricordo questa questione sorta tanti anni fa, in un corso abilitante.

Si partiva dall’equazione:
\( \displaystyle {x}-{\ln{{\left({x}\right)}}}={0} \)
che corrisponde all'esponenziale: \( \displaystyle {{x}}^{{\frac{{1}}{{x}}}}={e} \)

Faccio subito questa considerazione:
Se la base del logaritmo fosse \( \displaystyle {{2}}^{{\frac{{1}}{{2}}}} \) l’equazione di sopra si risolverebbe per x=2 .
Se fosse \( \displaystyle {{3}}^{{\frac{{1}}{{3}}}} \) si risolverebbe per x=3 e via dicendo, purchè indice e radicando siano uguali.
Per risolvere quindi l’equazione con il logaritmo neperiano, dovrei considerare \( \displaystyle {e} \) come la radice ennesima dello stesso valore n. E’ possibile trovare tale n e di fronte a che tipo di numero reale ci troviamo? Un irrazionale?
Anni fa - spero di ricordare bene - con un programma di matematica si trovò un valore approssimativo di tale n, compreso fra 0 e 1, credo vicino a 0,4… Si sa qualcosa di più?

[gugo82]

Tipico esempio di equazione con un'unica soluzione che non si può determinare esplicitamente in modo elementare.
Per determinarne il valore numerico in modo approssimato basta affidarsi ad un qualsiasi algoritmo di Analisi Numerica per la ricerca degli zeri (che so, bisezione, tangenti, etc...)

[Steven]

[mod="Steven"]Ciao Cisufo, ti chiederei di modificare il titolo del topic.
La funzione dei titoli è quella di indicare l'argomento della discussione, quindi sono da evitare titoli generici, come prescrive il regolamento.

Grazie.[/mod]

[cisufo]

Fatto, chiedo scusa

[GIBI]

... non sei tu che deve chiedere scusa.

[gugo82]

[mod="gugo82"]@GIBI: Questa hai il dovere di spiegarla... Se non sbaglio ti avevo già pregato di lasciare i tuoi "modi da Zarathustra di quart'ordine" fuori da questa sezione; ergo, sentiamo le tue ragioni.[/mod]

[franced]

Guardando il grafico delle funzioni

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={x} \)

e

\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={\ln{{\left({x}\right)}}} \)

si vede chiaramente che non ci sono soluzioni reali per l'equazione \( \displaystyle {x}={\ln{{\left({x}\right)}}} \).

[gugo82]

Avevo dato per scontato che cisufo avesse sbagliato a riportare il segno nella prima equazione (dopotutto è un "ricordo di tanti anni fa").

Se GIBI voleva far notare l'errore, poteva farlo in modo serio.
Aspetto ancora chiarimenti.

[Steven]

... non sei tu che deve chiedere scusa.

Se sono io, autore del richiamo, sarei felice di leggere il motivo per cui dovrei scusarmi.

[cisufo]

sono un po' perplesso. Anzitutto mi sono scusato per aver dato un titolo improprio al topic e l'ho subito cambiato. Poi mi si parla di errore nell'equazione e di mancanza di soluzione reale. Potrei avere una spiegazione un po' più ... concreta?