Equazione: \( \displaystyle \frac{{{x}{y}}}{{{x}-{y}}}={n} \)

[Gi8]

Sia \( \displaystyle {n}\in\mathbb{N}={\left\lbrace{1},{2},{3},\ldots\right\rbrace} \)
Determinare tutte le soluzioni \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}\in{\mathbb{N}}^{{2}} \) dell'equazione \( \displaystyle \frac{{{x}{y}}}{{{x}-{y}}}={n} \), in modo tale che \( \displaystyle {x}-{y} \) sia un quadrato perfetto

[xXStephXx]

[Cancello] Ho interpretato male xD

[milizia96]

No, \( \displaystyle {\mathbb{N}}^{{2}} \) significa \( \displaystyle \mathbb{N}\times\mathbb{N} \), cioè il prodotto cartesiano tra due insiemi \( \displaystyle \mathbb{N} \). Quindi \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) sono semplicemente dei numeri naturali.

[xXStephXx]

Ok, allora quello che ho scritto nel post precedente è completamente sbagliato. Ora devo andare, stasera ci riprovo.

[milizia96]

Io direi:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\( \displaystyle {x}={k}\cdot{\left({m}+{k}\right)} \)
\( \displaystyle {y}={k}\cdot{m} \)
\( \displaystyle {k},{m}\in\mathbb{N}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \)

[Gi8]

@milizia96:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ci sei quasi. Sicuro che \( \displaystyle {k},{m}\in\mathbb{N}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \)?

A scanso di equivoci tengo a precisare che \( \displaystyle {n} \) è un numero naturale fissato

[milizia96]

Ah, io pensavo semplicemente che \( \displaystyle {x}-{y} \) dovesse essere divisore di \( \displaystyle {x}{y} \). Quindi dovrebbe essere:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\( \displaystyle {m}{\mid}{n} \) \( \displaystyle \wedge \) \( \displaystyle {m}\lt\sqrt{{{n}}} \)
\( \displaystyle {k}=\frac{{{n}-{{m}}^{{2}}}}{{m}} \)
Quindi, sostituendo:
\( \displaystyle {x}=\frac{{{n}{\left({n}-{{m}}^{{2}}\right)}}}{{{m}}^{{2}}} \)
\( \displaystyle {y}={n}-{{m}}^{{2}} \)

[Gi8]

@milizia96: