equazioni differenziali 2

[mbo89]

salve a tt, avrei bisogno di una mano, in pratica da un probblema di fisica(di cui non so nulla) devoricavare un equazione differenziale....
se qualcuno pou darmi una mano.....
un punto materiale P si muove di moto rettilineo e la sua velocità V è direttamente proporzionale all'ascissa x di P sulla retta,calcolat a partire da un punto O, preso come origine delle cordinate ascisse: si ha cioè v=kx dove k è una costante assegnata.
Determinare la posizione del Punto P in funzione del tempo, sapendo che, nell'istante t=0 la posizione di p è data x=1

[Steven]

L'equazione te la dà il problema
\( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={k}\cdot{x}{\left({t}\right)} \)
ovviamente saprai che \( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={\dot{{x}}}{\left({t}\right)} \)
quindi ti riconduci a una semplice equazione differenziale del primo ordine.

[mbo89]

L'equazione te la dà il problema
\( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={k}\cdot{x}{\left({t}\right)} \)
ovviamente saprai che \( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={\dot{{x}}}{\left({t}\right)} \)
quindi ti riconduci a una semplice equazione differenziale del primo ordine.

ok ti ho seguito, ma scusa la mia ignoranza, ma io sono abituato a trattare con equazioni differenziali del tipo y° +y =x^2, ho provato a sviluppare la tua, ma non sonno arrivato al giusto risultato che equivale a x=e^kt, non è che potresti postarmi la risoluzione?????

[Steven]

Si solito di procede così:
\( \displaystyle {\dot{{x}}}{\left({t}\right)}-{k}{x}{\left({t}\right)}={0} \)
moltiplicando ambo i membri per \( \displaystyle {{e}}^{{-{k}{t}}} \)
ottieni
\( \displaystyle {{e}}^{{-{k}{t}}}{\dot{{x}}}{\left({t}\right)}-{k}\cdot{{e}}^{{-{k}{t}}}\cdot{x}{\left({t}\right)}={0} \)
ovvero, riconoscendo la derivata del prodotto,
\( \displaystyle \frac{{{d}{\left[{{e}}^{{-{k}{t}}}{x}{\left({t}\right)}\right]}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={0} \)
Integrando in \( \displaystyle \text{d}{t} \)
\( \displaystyle {{e}}^{{-{k}{t}}}{x}{\left({t}\right)}={c} \)
cioè
\( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={c}\cdot{{e}}^{{{k}{t}}} \)
ma
\( \displaystyle {x}{\left({0}\right)}={c}\cdot{{e}}^{{{k}\cdot{0}}}={c}={1} \)

Quindi si ha
\( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}={{e}}^{{{k}{t}}} \)

Chiaro tutto?
Ciao.