Equazioni differenziali

[squalllionheart]

Salve ho un esercizio che non so risolvere sulle equazioni differenziali:

Si consideri il problema di Cauchy:
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left({y}'={f{{\left({x},{y}\right)}}}\right)},{\left({y}{\left({0}\right)}={y}_{{0}}\right)}\right.} \)
ed il metodo
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left(\eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}+\frac{{h}}{{2}}{\left[{f{{\left({x}_{{i}},\eta_{{i}}\right)}}}+{f{{\left({x}_{{{i}+{1}}},\eta_{{{i}+{1}}}\right)}}}\right]}\right)},{\left(\eta_{{0}}={y}_{{0}}\right)}\right.} \)

i) Stabilire se il metodo è implicito o esplicito;
ii)Posto \( \displaystyle {f{=}}{2}{x}+{1} \), \( \displaystyle {y}_{{0}}={0} \) approsimare la soluzione del problema dato tramite il metodo fornito su punti \( \displaystyle {x}_{{i}}={i}{h} \) con \( \displaystyle {i}={0}\ldots \)

Allora:
i)Il metodo è implicito dato che \( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}} \) si calcola attraverso se stessa, cioè abbiamo come argomento della \( \displaystyle {f} \) \( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}} \)
ii) Ora qui ditemi dove sbaglio perche non capisco:
dato che \( \displaystyle {f{=}}{2}{x}+{1} \) allora \( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={2}{x}+{1} \) ORA SE NON DICO BESTIALITà SCAMBIO OGNI \( \displaystyle {f} \) DEL METODO CON IL SUO PRIMO ARGOMETO MOLTIPLICATO PER DUE E SOMMATO DI 1
CIOè riscrivo:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{\eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}+\frac{{h}}{{2}}{\left[{\left({2}{x}_{{i}}+{1}\right)}+{2}{\left({x}_{{{i}+{1}}}+{1}\right)}\right]}\\\eta_{{0}}={0}}\right.} \)

Ora mi concentro sulla prima equazione:
\( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}+\frac{{h}}{{2}}{\left[{\left({2}{x}_{{i}}+{1}\right)}+{2}{\left({x}_{{{i}+{1}}}+{1}\right)}\right]}=\eta_{{i}}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)} \)


Segue che:
\( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)} \)
Imponendo la condizione iniziale \( \displaystyle \eta_{{0}}={0} \) ottengo
\( \displaystyle \eta_{{{1}}}=\eta_{{0}}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)}={2}{h}{\left({i}+{1}\right)}\) \)
\( \displaystyle \eta_{{{2}}}=\eta_{{1}}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)}={2}{h}{\left({i}+{1}\right)}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)}={4}{h}{\left({i}+{1}\right)} \)
In generale quindi ho:
\( \displaystyle \eta_{{{i}}}={2}{i}{h}{\left({i}+{1}\right)} \)

Ora come proseguo, supponendo che fino a qui ho proceduto nel corretto modo?

[orazioster]

Ora mi concentro sulla prima equazione:
\( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}}=\eta_{{i}}+\frac{{h}}{{2}}{\left[{\left({2}{x}_{{i}}+{1}\right)}+{2}{\left({x}_{{{i}+{1}}}+{1}\right)}\right]}=\eta_{{i}}+{2}{h}{\left({i}+{1}\right)} \)

No:\( \displaystyle {x}_{{i}}={i}{h} \) ed \( \displaystyle {x}_{{{i}+{1}}}={\left({i}+{1}\right)}{h} \).
Perciò \( \displaystyle \eta_{{{i}+{1}}}={2}{h}{\left({i}{h}+{1}\right)} \)