Equazioni diofantee

[imagine]

Spesso si trovano esercizi sulle equazioni diofantee a una o più incognite. Un'equazione diofantea è un'equazione il cui scopo è trovare le soluzioni intere. Ho imparato (c'è un algoritmo) a trovare le soluzioni di un'equazione di primo grado a due incognite. Ma ci sono alcune equazioni per cui non sembra esserci nessun preciso metodo.
Ad esempio questa:
Trovare tutte le coppie (x,y) di interi positivi che verificano l'equazione:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2004}{x}-{2004}{y}+{2}{x}{y}-{2005}={0} \)
Quando vi trovate di fronte a queste equazioni, come procedete? c'è qualche metodo o qualunque cosa da provare all'inizio? Non parlo di questa equazione, ma delle diofantee in generale, difficili come questa.

[giannirecanati]

La cosa più importante è riuscire a fattorizzare. Qui puoi fare un raccoglimento parziale: \(\displaystyle (x+y)^2-2004(x+y)=2005 \) da cui \(\displaystyle (x+y)(x+y-2004)=2005 \). Adesso affinché l'equazione sia verificata dai numeri interi è necessario che \(\displaystyle (x+y) \) ed \(\displaystyle (x+y-2004)\) siano divisori di 2005. I divisori di 2005 sono \(\displaystyle (1,5, 401,2005)\). Quindi non resta che risolvere questi sistemi:

\(\displaystyle \begin{cases} (x+y)=2005 \\ (x+y-2004)=1 \end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases} (x+y)=401 \\ (x+y-2004)=3 \end{cases} \)

Solo il primo ha soluzione, ma bisogna trovare per quanti \(\displaystyle x+y=2005 \), e ci sono \(\displaystyle 2004 \) soluzioni . Torna il risultato?

[@melia]

L'ideale sarebbe quello di trasformarla in equazioni di primo grado, tipo risolvere l'equazione \( \displaystyle {{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}-{2004}{\left({x}+{y}\right)}-{2005}={0} \) nell'incognita \( \displaystyle {x}+{y} \), da cui si ottengono le due equazioni di primo grado \( \displaystyle {x}+{y}=-{1} \) e \( \displaystyle {x}+{y}={2005} \).