equazioni sul gruppo simmetrico

[angus89]

Mi scuso per la poca utilità, spero che comunque qualche utente ne possa trar vantaggio, ad ogni modo l'esercizio è semplice, ma sotto esame non si è mai sicuri di nulla, mi chiedo se è svolto bene o se c'è qualche errore di qualsiasi genere.

Trovare la soluzione in \( \displaystyle S_{10} \) di \( \displaystyle \sigma ^3=(1234)(56) \)

Svolgimento
elevando alla quarta \( \displaystyle {\sigma ^{3 \cdot 4}={((1234)(56))}^4=id \) dunque sigma ha odrine 12, daltronde vale il seguente risultato \( \displaystyle o(g \cdot h)=mcm(o(g),o(h)) \) , quindi se una permutazione si scrive come prodotto di \( \displaystyle k \) cicli disgiunti di lunghezza \( \displaystyle l_1,l_2, ... ,l_k \) allora l'ordine di tale permutazione sarà \( \displaystyle mcm(l_1,l_2, ... ,l_k) \) .
In questo caso l'unica possibilità è che sigma sia prodotto di un tri-ciclo e di un 4-ciclo (si intende sempre cicli disgiunti)
dunque sarà \( \displaystyle \sigma=\tau \cdot \alpha \) e dunque sarà \( \displaystyle \sigma^3=\tau^3 \cdot \alpha^3 \) , ma tau è un tri-ciclo quindi ha ordine tre, pertanto \( \displaystyle \sigma^3= \alpha^3 \) e sigma è un 4-ciclo quindi ad esempio \( \displaystyle \sigma=(a_1,a_2,a_3,a_4) \) quindi \( \displaystyle \sigma^3=(a_1,a_4,a_3,a_2) \) che evidentemente è un 4-ciclo.
Quindi l'equazione non è mai soddisfatta.

Edit: effettuata correzione

[Martino]

E che mi dici di \( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({56}\right)} \) ?

[angus89]

Ti dico che mi son saltato un pò di casi
Sappiamo che l'ordine di \( \displaystyle \sigma \) divide 12, quindi si è visto che 12 non è.
Daltronde non può essere 3 (gli unici elementi di ordine 3 sono i tre cicli e i prodotti di tre cicli disgiunti)
L'ordine non può essere 2(gli unici elementi di ordine 2 sono le trasposizioni e i prodotti di trasposizioni disgiunte)
Dunque l'ordine può essere 4. Quali sono gli elementi di ordine 4?
I 4-cicli (e non è il nostro caso)
I prodotti di 4-cicli disgiunti (e non è il nostro caso)
In virtù dell risultato prima esposto, ovvero \( \displaystyle o(g \cdot h)MCD(o(g),o(h)) \) c'è anche il caso 4-ciclo per trasposizione (il caso trovato da martino) che è dunque \( \displaystyle \sigma=(a_1,a_2,a_3,a_4)(a_5,a_6) \) dove gli \( \displaystyle a_i \) sono tutti distinti e sono compresi tra 1 e 10.
\( \displaystyle \sigma^3=(a_1,a_4,a_3,a_2)(a_5,a_6) \)
E dunque imponendo \( \displaystyle \sigma^3=(1234)(56) \)
\( \displaystyle \sigma^3=(a_1,a_4,a_3,a_2)(a_5,a_6)=(1234)(56) \) si ottiene
\( \displaystyle \sigma=(1432)(56) \)
Resta il caso in cui l'ordine si sigma sia 6, in tal caso sigma dovrebbe essere il prodotto di trasposizioni disgiunte e tricicli disgiunti e anche in questo caso non ci sono soluzioni procedendo in modo analogo al primo caso.

Presi tutti?

[blackbishop13]

Propongo \( \displaystyle \sigma={\left({1432}\right)}{\left({56}\right)}{\left({789}\right)} \)

[alvinlee88]

Presi tutti?

Non, in realtà ne mancano 3,e l'ordine del prodotto di cicli disigunti è il minimo comune multiplo degli ordini dei cicli, non il massimo comune divisore ( che non avrebbe molto senso...). Il modo migliore per risolvere questo tipo di esercizi è il seguente, così non rischi di perderti nessun caso.

Da \( \displaystyle \sigma^{12}=Id \) ricavi che \( \displaystyle \sigma \) ha ordine un divisore di \( \displaystyle 12 \) , quindi (scartando ovviamente 1) può avere ordine \( \displaystyle 2,3,4,6,12 \) . Quindi può essere composta da 2-cicli,3-cicli, 4-cicli e 6-cicli, (non da altri tipi di cicli perchè l'ordine di un prodotto di cicli disgiunti è uguale al minimo comune multiplo degli ordini dei cicli che lo compongono) in numero a priori sconosciuto.
Poni quindi \( \displaystyle \sigma=\phi_1 ...\phi_{k_1} \tau_1 ... \tau_{k_2} \alpha_1 ... \alpha_{k_3} \beta_1 ... \beta_{k_4} \) , con i \( \displaystyle \phi_i \) dei 2-cicli, i \( \displaystyle \tau_i \) dei 3-cicli, gli \( \displaystyle \alpha_i \) dei 4-cicli e infine i \( \displaystyle \beta_i \) dei 6-cicli, tutti disgiunti. Poi imponi che \( \displaystyle (1234)(56)=\sigma^3=\sigma=\phi_1 ...\phi_{k_1} (\alpha_1)^3 ... (\alpha_{k_3})^3 (\beta_{1,1} \beta_{1,2} \beta_{1,3} ) ... (\beta_{k_4,1} \beta_{k_4,2} \beta_{k_4,3}) \) , dove i \( \displaystyle \tau_i \) sono scomparsi perchè erano 3-cicli, gli \( \displaystyle (\alpha_i)^3 \) sono ancora dei 4-cicli e i 6-cicli sono diventati delle triplette \( \displaystyle (\beta_{i,1} \beta_{i,2} \beta_{i,3}) \) , dove ogni \( \displaystyle \beta_{i,j} \) è un 2-ciclo.

Allora hai ottenuto \( \displaystyle k_1+3k_4 \) 2-cicli, mente all'altro membro hai solo \( \displaystyle {\left({56}\right)} \), quindi ricavi \( \displaystyle k_1=1 \) , \( \displaystyle k_4=0 \) . Hai poi ottenuto \( \displaystyle k_3 \) 4-cicli (ricordo sempre che si parla di cicli disgiunti), e quindi poichè all'altro membro hai solo \( \displaystyle {\left({1234}\right)} \) ricavi \( \displaystyle k_3=1 \) . Per quanto riguarda \( \displaystyle k_2 \) invece, essendo che i 3-cicli spariscono elevando alla terza, puoi mettercene "quanti ce ne entrano", in particolare dopo aver piazzato il 2-ciclo e il 4-ciclo ti restano (sei in \( \displaystyle {S}_{{{10}}} \)) \( \displaystyle {4} \) elementi da permutare, quindi hai spazio per un solo 3-ciclo disgunto dal 2-ciclo e il 4-ciclo già presenti. In definita la tua soluzione sarà della forma \( \displaystyle \sigma=\phi \omega \tau \) , con \( \displaystyle \phi \) un 2-ciclo, \( \displaystyle \omega \) un 3-ciclo e \( \displaystyle \tau \) un 4-ciclo, con la condizione che \( \displaystyle \phi^3=\phi=(56) \) e \( \displaystyle \tau^3=tau^{-1}=(1234) \) , da cui \( \displaystyle \tau=(1432) \) . Quindi le soluzioni della tua equazione sono \( \displaystyle (1432)(56) \) , \( \displaystyle (1432)(789)(56) \) . \( \displaystyle (1432)(8,9,10)(56) \) e infine \( \displaystyle ((1432)(7,8,10)(56) \) .. Il metodo che ti ho presentato funziona sempre ed è molto semplice.

[angus89]

ops....si ho scitto massimo comun divisore pensando a minimo comune multiplo...infatti si vede anche da quello che ho datto dopo. Ad ogni modo ti ringrazio per la dritta.

[Martino]

le soluzioni della tua equazione sono \( \displaystyle (1432)(56) \) , \( \displaystyle (1432)(789)(56) \) . \( \displaystyle (1432)(8,9,10)(56) \) e infine \( \displaystyle ((1432)(7,8,10)(56) \) .

Mancherebbero
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({798}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({8}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {8}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {9}\ {10}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \).

Io conto 9 soluzioni in tutto.

E quante soluzioni ci sono in \( \displaystyle {S}_{{n}} \), con \( \displaystyle {n} \) arbitrario?

[angus89]

Se abbiamo \( \displaystyle S_n \) arbitrario i conti si complicano un pò, ma è questione di conteggio

Sulla linea di alvinlee88 verrebbe
\( \displaystyle \sigma=\delta_1\cdot ... \cdot \delta_k \cdot \gamma_1 \cdot ... \gamma_s \cdot \tau_1 , .. , \tau_k, \alpha_1 , ... , \alpha_h \)

Dove
\( \displaystyle \delta_i \) sono trasposizioni
\( \displaystyle \gamma_i \) sono tricicli
\( \displaystyle \tau_i \) sono 4-cicli
\( \displaystyle \alpha_i \) sono 6-cicli

Eleviamo alla terza il tutto, studiamo i casi separatamente

6-cicli
\( \displaystyle (a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6)^3=(a_1 a_4)(a_2 a_5)(a_3 a_6) \)


4-cicli
\( \displaystyle (a_1 a_2 a_3 a_4 )^3=(a_1 a_4 a_3 a_2) \)

3-cicli
\( \displaystyle (a_1 a_2 a_3 )^3=id \)

Trasposizioni
\( \displaystyle (a_1 a_2)^3=(a_1 a_2) \)

Quindi in sigma non ci possono essere 6-cicli poichè se anche ce ne fosse uno comparirebbero nelal potenza 3 trasposizioni disgiunte.
Di 4-cicli ce ne può essere solo 1, ovvero \( \displaystyle (1432) \) , se ce ne fosse un altro nello sviluppo della potenza comparirebbe un altro 4-ciclo disgiunto
Di trasposizioni ce ne può essere solo una, ovvero \( \displaystyle (56 \) , solito discorso, se ce ne fosse un'altra ...
I tre cicli ce ne possono essere quanti se ve vogliono, anzi sono loro che determinano il numero di soluzioni.
Quanti sono i possibili 3-cicli disgiunti?

Caso 1
\( \displaystyle n \) è multiplo di 3
Allora i tre cicli sono
\( \displaystyle {\left({\left(\matrix{{n}-{6}\\{3}}\right)}\cdot{3}!\right)}\cdot{\left({\left(\matrix{{n}-{9}\\{3}}\right)}\cdot{3}!\right)}\cdot{\left({\left(\matrix{{n}-{12}\\{3}}\right)}\cdot{3}!\right)}\cdot\ldots \)
Spiegando un po:
6 elementi erano fissati (il 4-ciclo e la trasposizione) quindi restano \( \displaystyle {n}-{6} \) elementi
Devo quindi vedere quante triplette ordinate posso formare, ovvero sono
\( \displaystyle {\left({\left(\matrix{{n}-{6}\\{3}}\right)}\cdot{3}!\right)} \)
Continuo su questa linea...
C'è poi da considerare il caso in cui non moltiplichi per tutte le triplette possibili ma solo per k triplette...
E li sono altri conti simili a questo

Caso 2
\( \displaystyle n \) non è multiplo di 3 ma da resto 1
Tutto uguale ma moltiplico il tutto per 2

Caso 3
\( \displaystyle n \) non è multiplo di 3 ma da resto 2
Tutto uguale ma moltiplico il tutto per 3

La soluzione non è completa (ammesso che sia corretta) ma adesso devo lasciarla in sospeso , spero di poterla continuare al più presto

[alvinlee88]

Mancherebbero
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({798}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({8}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {8}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {9}\ {10}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \).

Hai perfettamente ragione, anche se credo tu ne abbia scritta male qualcuna, alcune sono le stesse dette da me, tipo la prima mi sembra. Ho fatto le cose in fretta, con 4 elementi a disposizione abbiamo \( \displaystyle {8} \) 3 -cicli, non so bene perchè non li abbia scritti tutti. Quindi in totale \( \displaystyle {9} \) soluzioni.

[Martino]

Hai perfettamente ragione, anche se credo tu ne abbia scritta male qualcuna, alcune sono le stesse dette da me, tipo la prima mi sembra.

Beh no. Se vedi tu hai elencato 4 soluzioni, io ho elencato le altre 5:

le soluzioni della tua equazione sono \( \displaystyle (1432)(56) \) , \( \displaystyle (1432)(789)(56) \) . \( \displaystyle (1432)(8,9,10)(56) \) e infine \( \displaystyle ((1432)(7,8,10)(56) \) .

Mancherebbero
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({798}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({8}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {8}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {9}\ {10}\right)}{\left({56}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({1432}\right)}{\left({7}\ {10}\ {9}\right)}{\left({56}\right)} \).