equzione del calore e distribuzioni

[*missdreamer*]

Ho bisogno di aiuto per risolvere questo problema...

Dimostrare che la funzione \( \displaystyle {W}:{{\mathbb{{{R}}}}}^{{n}}{x}{\mathbb{{{R}}}}\rightarrow{\mathbb{{{R}}}} \) data

\( \displaystyle {W}{\left({x},{t}\right)}={\frac{{-{1}}}{{{{\left({4}\pi{t}\right)}}^{{\frac{{n}}{{2}}}}}}}{{e}}^{{{\frac{{-{{\left|{x}\right|}}^{{2}}}}{{{4}{t}}}}}} \) se \( \displaystyle {t}\gt{0} \), \( \displaystyle {0} \) altrimenti è localmente integrabile e la distribuzione regolare associata è una soluzione fondamentale dell'equzione del calore, cioè \( \displaystyle {\left(\Delta-{\frac{{\partial}}{{\partial{t}}}}\right)}{T}_{{{W}}}=\delta_{{0}} \).

Per localmente integrabile, basta dimostrare la conitinuità, giusto? Ma il secondo punto non so proprio come farlo. Grazie

[gugo82]

Beh, questo è un risultato fondamentale: provare ciò equivale a far vedere che la convoluzione \( \displaystyle {u}={W}\star{f} \) risolve l'eq. completa \( \displaystyle {\left(\frac{{\partial}}{{\partial{t}}}-\Delta_{{x}}\right)}{u}={f} \).
Puoi provare su un qualunque buon testo sulle EDP; ad esempio su Evans, Partial Differential Equations, (mi pare) cap. 2, § 2.3.

[amel]

Puoi provare a guardare il Treves (Basic linear partial differential equations), anche se a me non piace molto, però quello che cerchi se guardi bene c'è...
L'Evans non mi sembra impostato sulla teoria delle distribuzioni invece (sempre che non mi sbagli, ovviamente).
Il consiglio di Gugo, però, è (come sempre) giustissimo.
Sempre il solito geniaccio!!!