erf(z) e interpolazione lineare?

[acvtre]

Salve a tutti, sto facendo degli esercizi sulla diffusione allo stato solido e a un certo punto si deve sfruttare la seconda legge di Fick, dove presenta erf(z) ed in particolare si deve ricavare "z" tramite interpolazione e spulciando in giro mi pare di aver capito si tratti di interpolazione lineare, ma non riesco a venirne fuori.
Come si applica sfruttando i dati di z ed erf(z)?

Apparentemente il cacolo è semplice dato che si presenta come un'uguaglianza tra due frazioni le quali hanno, entrambe, sia a numeratore che a denominatore una sottrazione e l'incognita è solamente "z".

Grazie

P.S.: spero di essere nella sezione giusta.

[claudiocarcaci]

Dunque innanzi tutto devi avere l'intervallo in cui vuoi effettuare l'interpolazione, poi fornisci l'equazione f(x) = ...

[acvtre]

Dunque innanzi tutto devi avere l'intervallo in cui vuoi effettuare l'interpolazione, poi fornisci l'equazione f(x) = ...

Quale sarebbe questa equazione? Riusciresti a farmi un esempio pratico ad esempio con z=0,5?

[claudiocarcaci]

No, l'equazione devi fornirmela te, quella di errf(z) da interpolare.
In sostanza l'interpolazione polinomiale funziona così:
dati un elenco di punti in un intervallo [a,b]
(x0, y0) (x1,y1) ... (xn,yn)
viene costruito un polinomio di grado n che interpola tali punti.

Quindi o mi dai un elenco di punti noti per quanto riguarda errf(z) oppure conoscendo l'espressione di errf(z) sostituendo un elenco di ordinate z0, z1... zn ci si ricava i relativi y0, y1, ... yn

[acvtre]

Questa è la tabella tipica a cui devo fare riferimento è alla fine di questa pagina: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function
Praticamente di solito ho un calcolo di questo tipo: \( \displaystyle \frac{{{C}{x}-{C}{o}}}{{{C}{s}-{C}{o}}}={1}-{e}{r}{f{{\left({z}\right)}}} \) e con un paio di calcoli trovo un valore per erf(z) e da quello devo interpolare.
Caso tipo: trovo \( \displaystyle {e}{r}{f{{\left({z}\right)}}}={0},{5} \) e poi l'operazione diventa: \( \displaystyle {\left(\frac{{{0},{5}-{0},{4755}}}{{{0},{5205}-{0},{4755}}}\right)}={\left(\frac{{{z}-{0},{45}}}{{{0},{5}-{0},{45}}}\right)} \)

Ecco quest'ultima come la ricavo? E se dovessi ricavare erf(z) da z come dovrei fare?

P.S.: l'operazione è ricavata dalla seconda legge di Fick.

[claudiocarcaci]

Quella di cui parli è una semplice interpolazione con spline lineari.
Volevo fornirti un polinomio interpolante ma essendo numerosi i dati viene fuori un polinomio di grado elevato.
Si possono usare in alternativa spline cubiche o minimi quadrati, ma comunque dietro c'è un calcolo complesso che non ne vale la candela.

Comunque, in pratica una volta trovata erf(z) fai:
indicato con e1=errf(z1) l'estremo inferiore tabellato e con e2=errf(z2) l'estremo superiore tabellato t.c. \( \displaystyle {e}{1}\leq{s}{l}{a}{n}{t}{e}{r}{f{{\left({z}\right)}}}\leq{s}{l}{a}{n}{t}{e}{2} \)
e z1, z2 i corrispondenti estremi dell'intervallo dove c'è z incognito la formula generale è data dalla geometria che consiste nel trovare il relativo punto in una retta che collega due punti, ossia:
\( \displaystyle \frac{{{e}{r}{f{{\left({z}\right)}}}-{e}{1}}}{{{e}{2}-{e}{1}}}=\frac{{{z}-{z}{1}}}{{{z}{2}-{z}{1}}} \)
E questo è ovvio, geometricamente se prendi due punti (x1, y1) e (x2, y2) e consideri la retta che li congiunge hai che il coefficiente angolare è: \( \displaystyle {m}=\frac{{{y}{2}-{y}{1}}}{{{x}{2}-{x}{1}}} \)
mentre l'intersezione con l'asse y è: \( \displaystyle {q}={m}\cdot{x}{1}-{y}{1} \)
Scritta quindi l'equazione della retta: \( \displaystyle {y}={m}\cdot{x}+{q} \)
E considerato che y coincide con erf(z) mentre x con z, y2=e2, y1 = e1, x1=z1, x2=z2, sostituendo ti ritrovi la formula originaria
Ti raccomando vivamente di disegnare su un foglio i punti e renderti conto di coefficienti angolare ecc...

L'operazione inversa invece la ottieni con:
\( \displaystyle {e}{r}{f{{\left({z}\right)}}}={m}\cdot{z}+{q} \)
Con \( \displaystyle {m}=\frac{{{e}{2}-{e}{1}}}{{{z}{1}-{z}{2}}} \) e \( \displaystyle {q}={m}\cdot{z}{1}-{e}{1} \)