es su costruzione campo di spezzamento

[rikytoro]

Ciao a tutti!
Il testo è: determinare il campo di spezzamento del polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({{x}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({2}\cdot{{x}}^{{2}}+{x}+{1}\right)} \) \( \displaystyle \in \) \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \).
Ho notato che i due fattori sono irriducibili e ho cercato i campi di spezzamento di ognuno dei due fattori separatamente.
Posto \( \displaystyle \beta \) radice di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1} \), \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\beta\right)} \)è isomorfo a \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]}}}{{\lt{{x}}^{{2}}+{1}\gt}} \),\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\beta\right)}={\left\lbrace{a}\beta+{b}{\mid}{a},{b}\in\mathbb{Z}_{{3}}\right\rbrace}={\left\lbrace{0},{1},{2},\beta,\beta+{1},\beta+{2},{2}\beta,{2}\beta+{1},{2}\beta+{2}\right\rbrace} \) inoltre \( \displaystyle {\left({x}-\beta\right)}{\mid}{\left({{x}}^{{2}}+{1}\right)} \) per il teorema di Ruffini. Facendo la divisione mostro che \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1}={\left({x}-\beta\right)}{\left({x}+\beta\right)} \), quindi è scomponibile in fattori lineari, quindi \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\beta\right)} \)è campo di spezzamento.
Faccio lo stesso ragionamento sul secondo fattore e scopro che \( \displaystyle {2}\cdot{{x}}^{{2}}+{x}+{1}={\left({x}-\gamma\right)}{\left({2}\cdot{x}+{1}+{2}\cdot\gamma\right)} \),posta \( \displaystyle \gamma \) la radice del polinomio, quindi \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\gamma\right)} \) è campo di spezzamento del secondo fattore. Allora \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\beta\right)}{\left(\gamma\right)} \) è campo di spezzamento di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \).
è giusto come l'ho risolto?
grazie mille!

[elijsa]

ok io farei cosi: siccome \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1} \) è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) aggiungo una radice \( \displaystyle {a} \) tale che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}=-{1} \). so che \( \displaystyle {a}={i} \) bene quinid il campo di spezzamento di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1} \) è \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left({i}\right)} \). per il secondo polinomio che \( \displaystyle {2}{{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) è vero che è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) ma lo è anche in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left({i}\right)} \)? per saperlo devo prendere la base di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left({i}\right)} \). e capire se esistono \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{Z}_{{3}} \) tali che \( \displaystyle {a}+{i}{b} \) sia radice. in questo caso quindi si tratta di vedere se \( \displaystyle {2}{{\left({a}+{i}{b}\right)}}^{{2}}+{\left({a}+{i}{b}\right)}+{1}={0} \) ha soluzione per qualche a,b di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \). se ce l'ha allora il campo di spezzamento è \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left({i}\right)} \) altrimenti devi aggiungere una radice \( \displaystyle {b} \) e fare la divisione di \( \displaystyle {2}{{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) per \( \displaystyle {x}-{b} \)

[rikytoro]

ok...grazie mille!!