es su inversi e divisori dello zero in anello di polinomi

[rikytoro]

Ciao a tutti!ho un problema a risolvere l'es seguente, il testo è: sia f(x)=x³+2 ϵ Z5[x] e I=<f(x)>ideale di Z5[x]:
- si mostri che (x²+x+1)+I è invertibile in Z5[x]/I e si determini l'inverso;
- si mostri che (x-2)+I è un divisore dello zero in Z5[x]/I.
Io ho osservato che Z5[x]/I={ax²+bx+c+I|a,b,c ϵ Z5[x]}, l'unita dell'anello è 1+I mentre lo zero è I; un elemento è invertibile se esiste un altro elemento che moltiplicato con esso dà l'unità quindi ho impostato l'equazione: [(x²+x+1)+I][(ax²+bx+c)+I]=1+I. Ciò equivale a risolvere (x²+x+1)(ax²+bx+c)=1.Per risolverla alla fine ho impostato il sistema che però non ha soluzioni.
Nel secondo caso ho sempre usato la definizione di divisore dello zero, quindi [(x-2)+I][(ax²+bx+c)+I]=I, ovvero (x-2)(ax²+bx+c)=0 e sempre impostando il sistema mi risulta a=b=c=0.
Grazie per il vostro aiuto!

[Martino]

Ciao,
per favore scrivi le formule col mathml (risulta piu' chiaro), puoi impararlo in questa pagina.

Stai facendo un errore concettuale importante: tu passi da \( \displaystyle {\left({a}+{I}\right)}{\left({b}+{I}\right)}={c}+{I} \) a \( \displaystyle {a}{b}={c} \). Questo e' sbagliato.
Scrivere \( \displaystyle {\left({a}+{I}\right)}{\left({b}+{I}\right)}={c}+{I} \) e' equivalente a scrivere \( \displaystyle {a}{b}-{c}\in{I} \).
E appartenere a \( \displaystyle {I} \) non significa essere zero, ma (nel tuo caso) essere un multiplo di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}+{2} \).

Nel tuo caso per esempio questo:

\( \displaystyle {\left[{\left({{x}}^{{2}}+{x}+{1}\right)}+{I}\right]}\cdot{\left[{\left({a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c}\right)}+{I}\right]}={1}+{I} \)

e' equivalente a questo:

\( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+{x}+{1}\right)}{\left({a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c}\right)}-{1}\in{I} \)

- per trovare l'inverso di un polinomio \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {Z}_{{5}}{\left[{X}\right]}\//{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) invertibile il metodo standard e' applicare l'algoritmo di Euclide a \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) e \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) per trovare una relazione del tipo \( \displaystyle \alpha{\left({x}\right)}{f{{\left({x}\right)}}}+\beta{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}={1} \). Infatti riducendo modulo \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) questa relazione si trova proprio \( \displaystyle \beta{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}+{I}={1}+{I} \), ovvero la classe di \( \displaystyle \beta{\left({x}\right)} \) e' proprio l'inverso di \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \).
- per capire i divisori dello zero e' conveniente fattorizzare il polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) (quello che "definisce" lo zero) in \( \displaystyle {Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \).

[rikytoro]

OK...grazie mille!ora ho capito!