esagono di area minima

[Piera]

posto un altro problema, che al momento non sono riuscito a risolvere:

in un esagono convesso ABCDEF le diagonali AD, BE e CF passano per uno stesso punto O.
Sapendo che i triangoli AOB,COD, EOF hanno area rispettivamente 4 , 6 , 9 , determinare la minima area possibile per l'esagono.

[MaMo]

Problema interessante.
Quello che ho trovato (ma che non ho dimostrato) è che le aree degli altri tre triangoli devono essere uguali.
Imponendo questa condizione si trova A1 = A2 = A3 = 6 per cui l'area minima dell'esagono diventa 37.

[Piera]

perchè le aree devono essere uguali?
se non lo hai dimostrato, avrai fatto un ragionamento intuitivo, credo
io, anche se non ho avuto modo di riguardarci, non penso di essere in grado di risolverlo...

[MaMo]

perchè le aree devono essere uguali?
se non lo hai dimostrato, avrai fatto un ragionamento intuitivo...

Più che l'intuito ho usato l'analisi...
Ho trovato l'area dell'esagono in funzione dei sei lati dei triangoli e ho ricavato le sei derivate parziali.
Ho notato quindi che esse si annullano quando le aree dei tre triangoli sono uguali...
Comunque questa non mi sembra una dimostrazione...

[Piera]

forse il tuo procedimento è giusto, anche se credo che si dovrebbe dimostrare che la soluzione che annulla le derivate parziali è un minimo e che l'esagono trovato è convesso

io provo a pensarci in questi giorni,
comunque prometto che quando leggerò la soluzione del problema, la posterò, anche se per leggere la soluzione devo purtroppo aspettare
qualche mese, grosso modo fine marzo 2006!!

[Thomas]

...prova con la formula dell'area del triangolo dati due lati ed il seno dell'angolo compreso, seguita dalla dis tra media aritmetica e geometrica per minimizzare la funzione ottenuta... credo funzioni, anche se ovviamente non garantisco al 100%...

[MaMo]

@ Thomas: si, funziona.

[Piera]

potreste fare,chiaramente senza fare tutti calcoli,
qualche passaggio?
che significa dis tra media aritmetica e geometrica?

[karl]

La parte z da minimizzare e' (vedi figura):
\( \displaystyle {z}={\abs{\in}}\alpha+{e}{f{{\sin{\beta}}}}+{c}{d}{\sin{{\left(\alpha+\beta\right)}}} \)
con le condizioni:
\( \displaystyle {a}{f{{\sin{{\left(\alpha+\beta\right)}}}}}={8} \),\( \displaystyle {b}{c}{\sin{\beta}}={12} \),\( \displaystyle {d}{e}{\sin{\alpha}}={18} \)
E quindi la z diventa:
\( \displaystyle {z}={18}\frac{{{a}{b}}}{{{e}{d}}}+{12}\frac{{{e}{f}}}{{{b}{c}}}+{8}\frac{{{c}{d}}}{{{a}{f}}} \)
Ma per AM-GM e':\( \displaystyle {18}\frac{{{a}{b}}}{{{e}{d}}}+{12}\frac{{{e}{f}}}{{{b}{c}}}+{8}\frac{{{c}{d}}}{{{a}{f}}}\ge{3}{\sqrt[{{3}}]{{{18}\frac{{{a}{b}}}{{{e}{d}}}\cdot{12}\frac{{{e}{f}}}{{{b}{c}}}\cdot{8}\frac{{{c}{d}}}{{{a}{f}}}}}}={36} \)e pertanto il minimo richiesto e' $4+6+9+1/2z=37.
Bella intuizione quella di Thomas.Complimenti!
Archimede.

[Piera]

grazie archimede!!
dis stava per disuguaglianza...
veramente incredibile l'intuizione di Thomas!!