Esagono e punto

[karl]

L'esagono regolare ABCDEF e' inscritto in una circonferenza e sia P un punto
dell'arco \( \displaystyle {\hat{{{B}{C}}}} \).Dimostrare che risulta:
PE+PF=PA+PB+PC+PD
Archimede.

[Piera]

Chiamo angolo CEP = x e supponiamo raggio = 1
Risulta
PCE = 120 –x
PFB = 30 –x
PBF = 90 +x
Applicando ripetutamente il teorema della corda si ha
PC = 2 sen x
PD = 2 sen (30 + x)
PE =2 sen (120 –x)
PB =2 sen( 30 – x)
PA = 2 sen ( 60-x)
PF = 2 sen (90 +x)

PF + PE = sen x + 2 cos x + sqrt(3) cos x = PA + PB + PC + PD

[karl]

Buona soluzione ma ti confesso che amo di piu' quelle puramente
geometriche (quando sono possibili,s'intende).
Per il teorema di Tolomeo dal quadrilatero inscritto APCE ho:
\( \displaystyle {P}{C}\cdot{A}{E}+{P}{A}\cdot{C}{E}={A}{C}\cdot{P}{E} \) da cui,essendo il triangolo AEC
equilatero, si trae :
(1) \( \displaystyle {P}{C}+{P}{A}={P}{E} \)
Analogamente dal quadrilatero BPDF si ottiene:\( \displaystyle {P}{B}\cdot{D}{F}+{P}{D}\cdot{B}{F}={P}{F}\cdot{B}{D} \)
ovvero:
(2) \( \displaystyle {P}{B}+{P}{D}={P}{F} \)
Sommando (1) e (2) si ha la tesi.
Archimede