Esempio di anello normale (testo di Reid)

[mickey88]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi una mano a decifrare questo esempio tratto dal testo di Miles Reid "undergraduate commutative algebra". E' il punto (iii) degli esempi a pag 62 nella prima (e credo unica) edizione. Eccolo:

Si consideri l'anello \( \displaystyle {A}=\frac{{{k}{\left[{X},{Y}\right]}}}{{{\left({{Y}}^{{2}}-{{X}}^{{3}}\right)}}} \), e siano \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) le classi di \( \displaystyle {X} \) e \( \displaystyle {Y} \) rispettivamente. Allora \( \displaystyle {A} \) non è normale: non è difficile vedere che il campo dei quozienti di \( \displaystyle {A} \) è \( \displaystyle {F}{r}{a}{c}{A}={k}{\left({t}\right)} \) con \( \displaystyle {t}=\frac{{y}}{{x}} \), e \( \displaystyle {x}={{t}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {y}={{t}}^{{3}} \); ciascuna di queste relazioni mostra che \( \displaystyle {t} \) è integrale su \( \displaystyle {A} \), ma ovviamente \( \displaystyle {t}\notin{A} \). Inoltre \( \displaystyle {k}{\left[{t}\right]} \) è normale (perchè è un UFD) quindi, è la chiusura integrale di \( \displaystyle {A} \) in \( \displaystyle {k}{\left({t}\right)} \).

Bene, la prima cosa che non mi è chiara è chi sia \( \displaystyle {k}{\left({t}\right)} \), indipendentemente dal resto. L'unica interpretazione che riesco a darne è che esso sia l'estensione di \( \displaystyle {k} \) con \( \displaystyle {t} \), ma a questo punto non capisco proprio perchè debba essere il campo dei quozienti di \( \displaystyle {A} \).
Poi ho una domanda più generale, perchè sia il Reid che L'atiyah-mcdonald sono troppo densi e compatti sull'argomento:
quando ho un anello come quello sopra, cioè anello di polinomi in due variabili quozientato rispetto a un ideale principale, come faccio a trovare la normalizzazione?
grazie a tutti per la pazienza

[maurer]

Boh... si fa a mano... Hai \( \displaystyle A = k[X] \oplus k[X] Y \) . Questo anello è libero su \( \displaystyle k[X] \) , quindi in particolare è piatto. Pertanto applicando \( \displaystyle -\otimes_{k[X]} A \) all'inclusione naturale \( \displaystyle k[X] \subset k(X) \) ottieni \( \displaystyle A \subset k(X) \otimes_{k[X]} A \) . Ora, però, \( \displaystyle k(X) \otimes_{k[X]} A = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) , e questo è un campo perché il polinomio \( \displaystyle Y^2 - X^3 \) è irriducibile in \( \displaystyle k[X][Y] = k[X,Y] \) e, essendo \( \displaystyle k[X,Y] \) un dominio normale, vale per lui il lemma di Gauss. Da questo deduci al volo che \( \displaystyle \text{Frac}(A) \subset k(X) \otimes_{k[X]}A \) . D'altra parte è ovvio che ogni elemento di \( \displaystyle k(X) \otimes_{k[X]}A = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) si può scrivere come quoziente di due classi di \( \displaystyle k[X,Y]/(Y^2 - X^3) \) (perché?), e quindi otteniamo \( \displaystyle \text{Frac}(A) = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) . Il fatto che poi quest'anello sia uguale a \( \displaystyle k(t) \) è praticamente ovvio (hint: \( \displaystyle Y \) soddisfa un'equazione integrale su \( \displaystyle k[X] \) ... e poi basta la doppia inclusione!). Il resto del ragionamento fila liscio come l'olio, no?

Poi ho una domanda più generale, perchè sia il Reid che L'atiyah-mcdonald sono troppo densi e compatti sull'argomento:
quando ho un anello come quello sopra, cioè anello di polinomi in due variabili quozientato rispetto a un ideale principale, come faccio a trovare la normalizzazione?

Questa non è una domanda banale. Esistono algoritmi generali per il computo della normalizzazione, ma il più delle volte si dovrebbe fare a mano (tranne quando gli esercizi sono volutamente incasinati). Serve, più che altro, un po' d'occhio, lo stesso occhio che serve per fattorizzare polinomi o risolvere integrali indefiniti, se vogliamo metterla così. Potresti divertirti, ad esempio, a mostrare che \( \displaystyle \mathbb Z [X] / (X^2 + 2X + 4) \) non è normale e a computare la sua normalizzazione...

[mickey88]

alla mia domanda se \( \displaystyle {k}{\left({t}\right)} \) sia \( \displaystyle {k} \) esteso con \( \displaystyle {t} \) stai implicitamente rispondendo di sì? In ogni caso non capisco la tua argomentazione che fa uso del tensore, non so cosa siano anelli piatti e liberi.. e non capisco affatto cosa intendi con "fare a mano", sono giorni che provo a "divertirmi" a normalizzare roba, ma non ne cavo piedi, e il divertimento passa..

[maurer]

Non vorrei sembrare impertinente ma... come non sai che cosa sono anelli piatti e liberi?! E il prodotto tensoriale non dovrebbe essere un argomento standard di qualsiasi corso di (introduzione all')Algebra Commutativa?

Comunque, sì \( \displaystyle k(t) \) è \( \displaystyle k \) esteso con \( \displaystyle t \) . Quando dico "fare a mano" intendo che ho proprio fatto i conti! Non ho escogitato una super-bella dimostrazione categoriale che fa uso solo di frecce (e la cosa mi rattrista un po'), ma ho elaborato i soliti isomorfismi di sempre.

Però, dai, non è difficile far vedere proprio sporcandosi le mani che \( \displaystyle \text{Frac}(A) = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) , basta usare le definizioni ed il fatto che \( \displaystyle Y \) soddisfa un'equazione integrale su \( \displaystyle k[X] \) ... prova a farlo postando i passaggi, poi possiamo discuterne. Poi una volta che hai questa uguaglianza puoi far vedere che è effettivamente k esteso con t.

In ogni caso, adesso che ci penso, si dovrebbe poter dimostrare direttamente l'uguaglianza che vuoi (è che sono abituato a fare quel giro e mi sembra più facile...). Chiaramente \( \displaystyle k(t) \subset \text{Frac}(A) \) ; d'altra parte \( \displaystyle A \subset k(t) \) (perché? questo lo lascio dimostrare a te, non è difficile), e siccome \( \displaystyle k(t) \) è un campo, allora \( \displaystyle \text{Frac}(A) \subset k(t) \) , da cui la tesi!

[Richard_Dedekind]

Non vorrei sembrare impertinente ma... come non sai che cosa sono anelli piatti e liberi?! E il prodotto tensoriale non dovrebbe essere un argomento standard di qualsiasi corso di (introduzione all')Algebra Commutativa?

In modo sommesso - e soprattutto senza riferirmi al nostro amico - faccio notare con molto dispiacere che (purtroppo) l'algebra commutativa è spesso ed inspiegabilmente relegata a corsi avanzati delle lauree magistrali, come se fosse un argomento tanto complesso e settoriale...
Personalmente, trovo ciò molto ingiusto. Ingiusto, soprattutto nei confronti delle persone che, magari già dalla laurea triennale, vorrebbero approfondire un po' di metodi algebrici per la geometria, piuttosto che ascoltare interminabili lezioni su modelli matematici per la fluidodinamica. Io, per inciso, sono uno di questi. E l'algebra commutativa me la sono studiata da solo, perché da me ne compare un minimo accenno solamente in un corso del terzo anno, peraltro rivolto più alla teoria di Galois che ad altro.
Scusate lo sproloquio!

[maurer]

Sono d'accordo con te e ritengo che non abbia senso che vengano ancora insegnate tecniche obsolete quando ormai è talmente evidente che il futuro della ricerca sta nel linguaggio categoriale e degli schemi proposto da Grothendieck. Io faccio il quarto anno e queste cose le ho iniziate a studiare seriamente quest'anno, comunque. Ma nell'università di Milano, dove mi trovo attualmente, è previsto un corso potente di strumenti di algebra commutativa già al terz'anno, dove vengono sviluppati per bene il prodotto tensoriale e i vari concetti collegati!