esercizi baricentro + momenti di inerzia

[ELWOOD]

Si scusami, io ho parlato di aree perchè ti sei riferita/o ad un rettangolo.

Comunque nel tuo caso è analogo, vediamo di applicarlo ad un rettangolo e riferirci ad un sistema di riferimento centrale,
il tuo integrale diventa:

\( \displaystyle {I}_{{{x}{y}}}={p}{\int_{{-\frac{{b}}{{2}}}}^{{\frac{{b}}{{2}}}}}{\int_{{-\frac{{h}}{{2}}}}^{{\frac{{h}}{{2}}}}}{x}{y}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}=\frac{{1}}{{2}}{{\left[{{y}}^{{2}}\right]}_{{-\frac{{h}}{{2}}}}^{{\frac{{h}}{{2}}}}}\cdot\frac{{1}}{{2}}{{\left[{{x}}^{{2}}\right]}_{{-\frac{{b}}{{2}}}}^{{\frac{{b}}{{2}}}}}={0}\cdot{0}={0} \)

Forse così è più chiaro

[Nausicaa91]

Sì! Grazie mille. Però non tutti gli assi ortogonali passanti per il baricentro di una figura sono principali d'inerzia, giusto?
Ne senso... Ad esempio, gli assi baricentrali paralleli ai lati del rettangolo in tal caso lo sono. Ma non sempre, vero? Se li ruoto di un angolo a caso, non per forza avrò una terna principale d'inerzia?

[Nausicaa91]

Inoltre, come faccio a capire subito se una terna è principale d'inerzia? Se ho un asse di simmetria materiale quest'ultimo sarà principale, quindi quello ortonogale ad esso anche??

[Nausicaa91]

Ed inoltre... scusa!!! COme si fa a vedere algebricamente che il prodotto d'inerzia nel caso del disco è nullo???

[ELWOOD]

Sì! Grazie mille. Però non tutti gli assi ortogonali passanti per il baricentro di una figura sono principali d'inerzia, giusto?
Ne senso... Ad esempio, gli assi baricentrali paralleli ai lati del rettangolo in tal caso lo sono. Ma non sempre, vero? Se li ruoto di un angolo a caso, non per forza avrò una terna principale d'inerzia?

Giusto, 2 assi passanti per il baricentro non per forza sono principali d'inerzia! In generale 2 assi principali non coincidono mai con direzioni "standard" come \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \), solo nelle figure più semplici (come rettangoli ecc) ti accorgi che sono principali quando sono "simmetrici" e dividono simmetricamente la figura, nel caso del rettangolo infatti, solo gli assi passanti per \( \displaystyle {G} \) e paralleli a base ed altezza suddividono la figura in 2 parti uguali rispettivamente.

Inoltre, come faccio a capire subito se una terna è principale d'inerzia? Se ho un asse di simmetria materiale quest'ultimo sarà principale, quindi quello ortonogale ad esso anche??

lo ripeto, in generale è molto difficile a occhio individuare una terna principale. Sai solo che ha l'origine nel baricentro. Si, nel caso tu abbia un asse di simmetria che passa per \( \displaystyle {G} \) allora è asse principale d'inerzia, e l'asse a esso ortogonale passante sempre per \( \displaystyle {G} \) è sempre asse principale.

Ed inoltre... scusa!!! COme si fa a vedere algebricamente che il prodotto d'inerzia nel caso del disco è nullo???

utilizzi lo stesso procedimento che hai utilizzato per il rettangolo, però sostituisci alle coordinate cartesiane quelle polari

[Nausicaa91]

Grazie! Ma sei solo una matricola? Come fai a sapere queste cose? Stima!
Posso chiederti un'ultima cosa?
Immaginiamo un quadrato. Il suo momento d'inerzia rispetto al lato inferiore (quello orizzontale) è uguale al suo momento d'inerzia rispetto al lato superiore( orizzontale)??? Insomma i momenti di inerzia di figure centrali (posso definirle così??) rispetto ai lati paralleli sono identici? Ciò vale quindi per i quadrati, per il cerchio ma non per il rettangolo? O anche per esso?

[ELWOOD]

Grazie! Ma sei solo una matricola? Come fai a sapere queste cose? Stima!

ehm....è da un pò che non cambio il mio profilo in effetti

Posso chiederti un'ultima cosa?
Immaginiamo un quadrato. Il suo momento d'inerzia rispetto al lato inferiore (quello orizzontale) è uguale al suo momento d'inerzia rispetto al lato superiore( orizzontale)??? Insomma i momenti di inerzia di figure centrali (posso definirle così??) rispetto ai lati paralleli sono identici? Ciò vale quindi per i quadrati, per il cerchio ma non per il rettangolo? O anche per esso?

Esatto...vale anche per il rettangolo...tanto per renderti conto lo calcolo riferito all'asse \( \displaystyle {y} \) nelle 2 alternative:



In questo caso \( \displaystyle {I}_{{{y}}}={\int_{{{0}}}^{{{h}}}}{\int_{{{0}}}^{{{b}}}}{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}=\frac{{{b}{{h}}^{{3}}}}{{3}} \)



In questo caso hai un cambio di segno, ma nello svolgimento dell'integrale è insignificante:

\( \displaystyle {I}_{{{y}}}={\int_{{{0}}}^{{{h}}}}{\int_{{{0}}}^{{-{b}}}}-{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}=\frac{{{b}{{h}}^{{3}}}}{{3}} \)

E vale uguale negli altri lati!

[Nausicaa91]

grazie, utilissimo.
Prenderò 30!

[ELWOOD]

come minimo!