Lorin ha scritto:vi ringrazio per le risposte, ma per ora il prodotto diretto ancora non l'ho fatto. In questi giorni comunque ho avuto vari chiarimenti anche da parte del prof e quindi ho capito perchè il gruppo di Klein non è ciclico. (nessun elemento ha ordine 4, quindi nessuno è generatore. Stessa risposta va per il gruppo dei quaternioni, che se non sbaglio è il più piccolo gruppo non ciclico a sottogruppi tutti normali.)
grazie
No, il gruppo dei quaternioni è il più piccolo gruppo non abeliano con sottogruppi tutti normali (il nome di questo tipo di gruppi non è importante). Il gruppo di Klein non è abeliano e ha tutti i sottogruppi normali, come tutti i gruppi abeliani.
Il più piccolo gruppo non abeliano è invece il \( \displaystyle {S}_{{3}}\stackrel{\sim}{=}{D}_{{3}} \) (il gruppo diedrale di ordine 6 e il gruppo simmetrico di 3 elementi sono isomorfi). Non è difficile vedere che non è abeliano con un controesempio.
Dai un occhiata qui...
http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_dei_quaternioni
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_piccoli
P.S: In realtà il gruppo di Klein ha 2 generatori (la decisione dei due elementi non è unica). Ogni gruppo è generato da un qualche insieme di generatori (la scelta dei quali non è generalmente unica), un gruppo è ciclico se quell'insieme può essere ridotto ad un solo elementi.
