Esercizi di Teoria dei Gruppi

[Lorin]

Ho creato questo topic così da poter inserire tutte le domande e i problemi che occupano la mia mente in questi giorni e in quelli futuri, prima dell'esame di algebra I, in modo da non creare diversi topic, magari anche dispersivi.

La prima domanda è:
Determinare i sottogruppi di \( \displaystyle {U}{\left(\mathbb{Z}_{{25}}\right)} \).

Allora la mia prof. in classe ci ha fatto prima calcolare l'ordine del gruppo. Quindi abbiamo utilizzato la funzione \( \displaystyle \varphi \) di Eulero. Cioè

\( \displaystyle \varphi{\left({25}\right)}={20}\Rightarrow{\left|{U}{\left(\mathbb{Z}_{{25}}\right)}\right|}={20} \)

Ora lei dice:

in particolare \( \displaystyle {\left[{2}\right]}_{{25}}\in{U}{\left(\mathbb{Z}_{{25}}\right)} \). E fino a qui ci siamo. Poi dice che \( \displaystyle {\left|{\left[{2}\right]}_{{25}}\right|} \) (o periodo) \( \displaystyle ={20} \). Come ha fatto a dirlo?


NB
\( \displaystyle {U}{\left(\mathbb{Z}_{{25}}\right)} \) = si intende il gruppo degli invertibili dell'anello \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{25}} \)

[Thomas]

un metodo può essere vedere che visto che il periodo deve essere un divisore di 20 e non è 2,4,5,10 per verifica diretta (sono due calcoli) allora è per forza 20...

[Lorin]

quindi tu mi consigli di provare ad elevare la classe di due ai divisori di 20 e vedere quanti elementi ci sono in ogni nuova classe?!

[Thomas]

scusa ma tu che cosa vuoi vedere, che l'ordine di due è 20 o cosa?

[Lorin]

si come faccio a vedere che l'ordine di 2 è 20?

in pratica dovrei solo contare gli elementi...non c'è una formula...

[Thomas]

io ti propongo questo metodo....

visto che due appartiene ad un sottogruppo di ordine 20, il suo ordine è 2 o 4 o 5 o 10 o 20...

ora l'ordine non è 2, 4, 5,... in quanto \( \displaystyle {{2}}^{{2}}={2},{{2}}^{{4}}={16},{{2}}^{{5}}={32} \)

contare \( \displaystyle {{2}}^{{10}} \) può essere complicato, ma

\( \displaystyle {{2}}^{{10}}=={{2}}^{{5}}\cdot{{2}}^{{5}}=={49}=={24}==-{1}\text{mod}{\left({Z}_{{{25}}}\right)} \)

e quindi l'ordine è 20...

[Lorin]

thanx^^

Avrei un'altra domanda.

Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?

Dovresi sfruttare la definizione di gruppo ciclico. Ma non c'è un modo semplice per mostrarlo...che mi eviti tutti i passaggi di verifica?!

[Martino]

Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?

Il gruppo di Klein \( \displaystyle {K} \) è il prodotto diretto \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{2}} \), dove \( \displaystyle {C}_{{2}} \) è il gruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {2} \). Prova a ragionare sull'ordine di un elemento non banale di \( \displaystyle {K} \).

[vict85]

thanx^^

Avrei un'altra domanda.

Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?

Dovresi sfruttare la definizione di gruppo ciclico. Ma non c'è un modo semplice per mostrarlo...che mi eviti tutti i passaggi di verifica?!

Sai trovare un elemento di ordine 4? Non mi sembrano tanti come calcoli... Se lo consideri come sottogruppo di \( \displaystyle {S}_{{4}} \) ogni elemento è nella forma \( \displaystyle {\left({a}{b}\right)}{\left({c}{d}\right)} \) per qualche \( \displaystyle {a},{b},{c},{d} \) tutti diversi tra loro.

Quindi \( \displaystyle {\left({a}{b}\right)}{\left({c}{d}\right)}{\left({a}{b}\right)}{\left({c}{d}\right)}={\left({a}{b}\right)}{\left({a}{b}\right)}{\left({c}{d}\right)}{\left({c}{d}\right)}={1} \)

P.S: questo era nel caso tu non sapessi ancora cos'è il prodotto diretto.

Se lo vedi come gruppo di simmetria del rettangolo basta osservare che ogni elemento ha ordine 2 (perché le riflessioni sugli assi hanno ordine 2).

Ora che ti ho risolto questo prova a determinare se il gruppo dei quaternioni è ciclico.

[Lorin]

vi ringrazio per le risposte, ma per ora il prodotto diretto ancora non l'ho fatto. In questi giorni comunque ho avuto vari chiarimenti anche da parte del prof e quindi ho capito perchè il gruppo di Klein non è ciclico. (nessun elemento ha ordine 4, quindi nessuno è generatore. Stessa risposta va per il gruppo dei quaternioni, che se non sbaglio è il più piccolo gruppo non ciclico a sottogruppi tutti normali.)

grazie