Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 05/05/2012, 14:39

Aspetta aspetta credo di aver dimostrato anche questa cosa che f è una mappa aperta...

Per la definizione di omeomorfismo locale ogni punto $x \in X$ possiede un intorno $V_x$ tale che $f(V_x)$ è aperto in $Y$ e $f|V_x$ è un omeomorfismo. Sia $A$ un aperto di $X$ allora $A \cap V_x$ è un aperto di $V_x$ quindi (ricordando che $f|V_x$ è un omeomorfismo) $f(A \cap V_x)= f(A) \cap f(V_x)$ è un aperto di $f(V_x)$. Ma $f(V_x)$ è aperto in $Y$ per ipotesi, quindi $f(A \cap V_x)$ è aperto in $Y$. Di conseguenza $f(A)= \bigcup_{x \in X} f(A \cap V_x)$ è unione di aperti di $Y$ e pertanto è aperto.

Dimmi un pò se va bene. :-D
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Messaggioda j18eos » 05/05/2012, 14:44

Mi sembra tutto a posto! :smt023

Spero di non aver scritto io sciocchezze... =_=
Sono libero di sbagliare!

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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 05/05/2012, 14:57

j18eos ha scritto:Un qualsiasi spazio topologico non compatto è compattificabile con un punto, non è necessario che esso sia di Hasudorff.

Con questa frase mi hai messo in crisi perchè sul testo di Munkres dice (cito testualmente):

$X$ has a one-point compactification if and only if $X$ is a locally compact Hausdorff space that is not itself compact.

C'è qualche cosa che ho frainteso? :smt017 Grazie!
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Messaggioda j18eos » 05/05/2012, 15:01

Assolutamente no, basta che leggi da wikipedia.it; a meno che non si stia parlando di concetti distinti!
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 05/05/2012, 15:07

Boh allora adesso mi riguardo meglio le definizioni precedenti del testo, magari mi è sfuggita qualche sottile differenza di impostazione di Munkres rispetto alle definizioni di wikipedia. Grazie.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 06/05/2012, 14:34

18)

(a) Show that every metrizable space with a countable dense subset has a countable basis.
(b) Show that every metrizable Lindelof space has a countable basis.


Svolgimento

(a) Sia $C={c_1,c_2,c_3,...}$ un sottoinsieme denso numerabile dello spazio metrico $X$. Voglio dimostrare che la collezione numerabile di aperti ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ è una base di $X$. Sia $x \in X$ e sia $I_x$ un suo intorno. Allora esiste $k$ sufficientemente grande tale che $x \in B(x,1/k) \subseteq I_x$. Siccome $C$ è denso esiste $n$ tale che $d(x,c_n)<1/{2k}$ e allora $x \in B(c_n,1/{2k}) subset B(x,1/k) \subset I_x $

(b) Sia $X$ uno spazio metrico di Lindelof. Allora per ogni $n \in N$ esiste un ricoprimento numerabile di $X$ formato da palle aperte di raggio $1/n$. L'unione (al variare di $n$) di questi ricoprimenti è numerabile e costituisce una base di $X$. Infatti preso un punto $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre un $n$ abbastanza grande tale che $x \in B(x,1/n) \subset I_x$.
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Messaggioda j18eos » 07/05/2012, 20:42

Mi esprimo solo sul punto (a): ...e allora che hai dimostrato? :?:
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 07/05/2012, 21:01

Ho dimostrato che per ogni elemento $x$ e per ogni intorno $I_x$ di $x$ esiste une elemento di ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ che contiene $x$ ed è contenuto in $I_x$. Pertanto ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ è una base.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda maurer » 07/05/2012, 21:50

Il primo punto mi torna. Ho delle perplessità sul secondo: come fai a dedurre che la base è numerabile? Fai l'unione sui punti dello spazio, ma non è detto che siano numerabili! O mi sto perdendo qualcosa io?
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 07/05/2012, 22:38

Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base. Infatti questo passaggio

perplesso ha scritto:preso un punto $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre un $n$ abbastanza grande tale che $x \in B(x,1/n) \subset I_x$.


non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio? :oops:
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